Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
отрицательное число, отличное от ± 1, решения системы (20.12)
250 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ (Гл. IV представляются формулой
xk = e^t 2Zke(ima.)/?e, (20.13)
9=1
7 Цтт\____ (imv)
Ы\1тт)- D(im<o) >
где Dkq (р) — соответствующие миноры определителя D(p). Если «г = ± 1, то уравнения (20.12) не имеют, вообще говоря, периодического решения, поскольку D (i va) = 0. Для того чтобы такое решение все же существовало, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
2хЛ = о для и=1,
<2=1
2 XtFq = 0 для п= - 1.
9=1
(20.14)
При выполнении этих условий вынужденное колебание, определяемое уравнениями (20.12) для лг=1, представляется формулой
= I + (&= 1, 2, ... , /г), (20.15)
9 = 1
в которой
= (Л, g = l, 2, ... , n)
др / p=?ia)
и С — произвольная постоянная. Аналогичную формулу получаем и для п = — 1.
Рассмотрим теперь задачу о нахождении периодического, с периодом ~ , решения системы дифференциальных уравнений
71
2 (Л-1,2........./г), (20.16)
q~ 1 (—cc<m<co)
т. е. задачу о нахождении вынужденного колебания в невозмущенной системе под действием сил
2 i4m)eimu>' (&=1, 2.............../г).
(—оо<тп<оо)
Поскольку нас интересуют, разумеется, лишь вещественные решения, мы будем предполагать выполненными условия вещественности
Ftm) = FZ(m) (А=1, 2, ... , п). (20.17)
Тогда на основании вышесказанного убеждаемся, что поставленная задача имеет решение только в случае, когда выполняются условия
2/с/^ = о, 2х^_1) = о. (20.18)
9=1 9 = 1
Заметим, между прочим, что благодаря (20.17) одно из этих условий является следствием другого.
5 20] СОБСТВЕННЫЕ ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 251
Если условие (20.18) выполняется, то искомое периодическое решение представляется следующей формулой:
2 eim“'f 2 Zkq(imw)F^\ + e^ j\ ShqF{ql) +
/— oo<m<oo\ 1 q~ 1 J q—i
V тф±1 J
+ S + + (&=1, 2.....n), (20.19)
9=1
¦содержащей две произвольные постоянные — вещественную и мнимую части С.
Заменяя в предыдущих выкладках ш( на ф, легко получить следующий результат, который нам понадобится в дальнейшем при определении функций (20.6).
Для того чтобы система уравнений
диь v\ “ity- ZJCkqUq
9=1 (—oo<m<oo)
для которой выполняются условия вещественности (20.17), имела вещественное периодическое решение, с периодом 2гс, необходимо и достаточно, чтобы
'2Fii)7ck = 0. (20.21)
k=t
Если это условие выполнено, искомое решение имеет следующий вид: (Ф) = 2 { ? Zkq (irw) F'A + е*Ф | Skq F“> +
f — vq — 1 ) 9=1
V mj=±l J
n
+ e-iu>S SZtF?-t)+C<pkei* + C*<?ie-4', (20.22)
9 = 1
где С — произвольная комплексная постоянная.
После этих предварительных замечаний приступим к решению нашей основной задачи, т. е. к нахождению функций (20.6) и (20.7). Разложение (20.4) напишем в виде
xh = Uhm(a, ф) + ен^1)(а, ф) + а242)(а, ф)+ ... (к= 1,2......ге), (20.23)
где для сокращения положено
иk0>(a, ф) = <рйаегФ + «piае~гф (к = 1, 2, ..., ге). (20.24)
Дифференцируя выражения (20.23) по времени и учитывая при этом уравнения (20.5), находим:
дгг<°> дгг'1’ „ ди^
252 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 1Гл. IV
и поэтому левые части уравнений (20.1) могут быть представлены в виде:
П
^h—У с (О | диfe0> 4 I дик' в 1 ,
dt 2j CbqXq — Зф ZjCh«H9 + За дф 1 J +
9= 1 9=1
г Зк!,2’ „ Згг10) 9гг10> Зн!,1’ Згг!,1'
+ е {““Зф 2 смц9 ' + -farAz+ ~ЩГ Bz + ~dTAi+~df Bi\ +е3 • •'
3 = 1
(к = 1,2,..., ге).
Подставляя (20.23) в правые части уравнений (20.1), можем их записать следующим образом:
e/fe1’ (xi....хп) + ?2Д2) (%¦ • • • - хп) + е3 • • • = efk ’ «’, • • • , в"») +
+*3 (2 /?'кг,ико>)+д2)кг..........................о!+е3¦ • •
Г= 1 г
(к= 2, ... , ге).
Приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях е в последних двух выражениях, получим:
диJ1* JL 3kJ,0) dul0>
2 = .......(20.25)
9=1
- 2 v*2’ = 2 /v м0’...............м»0>)
9=1 r=l
Эи!1’ du'h’ du,l0) dul01
+ /ГКГ, ... (20.26)
(? = 1, 2, ... , re).
Из полученных систем уравнений (20.25), (20.26) и т. д. мы последовательно можем определить искомые функции и^' (а, ф), и/Г (а, ф), ...
(&=1, 2, . .. , re), а также функции (а), В1(а), А2(а), В2(а), ... , причем последние должны быть определены так, чтобы функции и^’ (а, ф), «{Г (а, ф), ... , (&=1, 2, . . . , ге) были периодическими по ф с пе-
риодом 2тс.
Приступая к решению системы уравнений (20.25), рассмотрим разложения Фурье для функций /JT (и1°\ . . . , г40)) (к = 1, 2, . .. , ге) в комплексной форме:
Я1’ (вГ «.. , «Г) = 2 ф!0) (а) (& = 1,2.....ге),
(—СС<7П<СС)
где
2те
фйт)(«) = ^ ^<>) е-*т'Ыф,
5 20] СОБСТВЕННЫЕ ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 253
Тогда систему уравнений (20.25), учитывая также обозначения {20.24), можем представить в виде
да? "
ад
д = 1 (— оо<т<оо\
I тф± 1 )
+ {Ф^ (а) — Arfi — iBj<pka} ег<р + {Ф^1’ (а) — Atft + а} (20.27)
(&= 1, 2, , п).
Мы получили тем самым уравнения типа (20.20). Поэтому, для того чтобы из системы (20.27) можно было бы определить искомые функции «к1* (я» Ф) (к = 1> 2, ... , п), периодические по ф, должно выполняться условие, аналогичное условию (20.21), т. е.
