Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
хк = (ркае^ +'рьае~м (А = 1, 2.......п), (20.42)
где <pfe) <р?(А = 1, 2, ..., ^ — нетривиальные решения системы однородных
алгебраических уравнений (20.8), в которых положено соответственно р = т и р= — im\ а и ф —функции времени, определяемые уравнениями
(20.43)
5 =(0 +e5i(«). )
в которых ^(а) и В1(а) находятся из (20.28).
Во втором приближении имеем:
xk = <pkae^ +<р?ае-^ +еи^} (а, ф) (А= 1, 2,. . ., п), (20.44)
где ukv (а, ф) определяются согласно формуле (20|35) а а и ф — функ-
ции времени, определяемые из уравнений:
^ =гЛ1(а) + е2Л2(а), ]
(20.45)
-1 = ш + еВ1 (а) 4- е2?2 (а), j
I 20]
СОБСТВЕННЫЕ ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАЩШ
257
в которых Ах (а) и В1(а) определяются выражением (20.28), а А2 (а) и В2 (а) выражением (20.41).
Резюмируя полученный результат, укажем сейчас формальный прием, с помощью которого можно построить первое и второе приближение для решений системы (20.1), соответствующих одночастотному колебательному процессу, зависящих от двух произвольных постоянных.
Прежде всего необходимо выделить невозмущенную линейную систему и убедиться, что в ней возможны гармонические собственные колебания с некоторой частотой ш. Затем следует проверить, что собственные колебания с этой частотой зависят лишь от двух произвольных постоянных а и в:
xh ~ (Рйае*(ш(+0) + М+0) (&= 1, 2, ..., п), (20.46)
и что в невозмущенной системе (г = 0) невозможны собственные незатухающие колебания ни на обертонах ш, ни на «нулевой гармонике» (условие отсутствия «статических» решений, отличных от тривиального).
Далее рассматриваем вынужденные колебания
П
xh= 2 Zhr(ia)Ргеш,
г—1
возбуждаемые в невозмущенной системе приложенными силами Ргеш, и находим условие конечности вынужденных колебаний при а = <о:
2 50А = о.
1
Тогда в качестве первого приближения может быть использовано выражение (20.46), в котором а и ф = <иt-\-6 являются функциями времени, определяемыми уравнениями первого приближения (20.43). Функции А1(а) и В1(а), входящие в эти уравнения, находим, подставляя (20.46) в «уравнение гармонического баланса»:
\ 2 Xk cbrxr-*fb'ixv •'»хп)~
О h~ 1 r= 1
- $2/ь2> , ®п) - ... зд=и,0, (а> Ф)в-‘^ф = 0. (20.47)
При такой подстановке дифференцирование совершаем с учетом уравнений (20.43) и отбрасываем члены порядка малости выше первого.
Нетрудно проверить, что мы получим для А1(а) и В1(а) выражения, аналогичные тем, которые получаем согласно формуле (20.28).
Для построения второго приближения рассмотрим главные члены возмущающих сил
-/k1’ (xi, • ••,*„) (А= 1, 2, .. ., п),
подставим в них звачения xlt .. ., хп согласно формулам первого приближения (20.46) и разложим результат в ряд Фурье:
2 e®Lm) (a)eim <и>*+в).
(—со<т<ео)
(20.48)
258 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ?Гл. IV
Считая здесь а и 0 постоянными, рассмотрим регуляризированное вынужденное колебание
71
pim (cof + G) f л
тк1’ (a,u>t + G)= 2 {2 еф* (a)Zfcr(J'mu))} +
(—oo<m<oo\ r= 1
[ тф±I )
n n
+ ei (»/+ о | ^ (a)} + (to(+0) { 2 (a)} (20.49)
Г=1 Г=1
(A=l, 2,------/г),
возбуждаемое в невозмущенной системе приложенными силами (20.48). Мы говорим о «регуляризированном» вынужденном колебании, подразумевая, что в гармонических компонентах вынужденного колебания, возбужденных «резонирующими членами»,
еФ?>е* М+в), еф^-1>е~4
из множителей Zhr (р) удалены их особенности
D' (т) (р—Ы)
для р = т и
D' ( — ia>) (p+iui)
ДЛЯ р = — гш.
Введем, далее, две произвольные вещественные функции (а) и К2 (а) (К (а) = (а) + iK2 (а)), после чего в качестве второго приближе-
ния берем выражения вида
хь ~ ?kaei (щ(+в) + <?кае~1 + ?<pkK (а) е1 -|-
+ «?К* {a) e-i (“*+«> + (а, Ы + 6) (20.50)
(* = 1. 2.....п),
в которых
К (а) = Кх (а) + iK2 (а), К* (а) = Кх {а) - iK2 (а).
Выражения (20.50), очевидно, могут быть интерпретированы как сумма собственных колебаний и регуляризированных вынужденных колебаний.
Чтобы определить функции (а) + г2 А2 (а) и &В1(а)-\-е2В2(а), стоящие в правых частях уравнений второго приближения (20.45), подставляем значения xk (к= 1, 2, ..., п) согласно формулам (20.50) в «уравнение гармонического баланса» (20.47), причем при дифференцировании учитываем уравнения второго приближения (20.45) и вычисления ведем с точностью до величин второго порядка малости включительно.
Простая проверка убеждает нас в том, что изложенный формальный прием приводит к тем же результатам, что и разработанная выше теория асимптотических разложений.
§ 21] СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ДИФ. УРАВНЕНИЯМИ 2-го ПОРЯДКА 259
§ 21. Собственные одночастотные колебания в системах со многими степенями свободы, описываемые системой дифференциальных уравнений второго порядка
Часто при исследовании колебательных систем со многими степенями свободы удобнее рассматривать систему N дифференциальных уравнений второго порядка, где N — число степеней свободы.
Мы рассмотрим частный случай, когда невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колебаний.
Для исследования этого частного случая воспользуемся результатами, установленными в предыдущем параграфе. Как известно, в этом случае неволмущснная система полностью характеризуется кинетической энергией
