Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
~ ~ L ‘9а- 1 + "Ж" а 1 + “fo" а 1 2А51 ¦
dm (t) аВ-
dx т (т
Д#х 1
т (т) J
1
2п2т (т)
2 г 2те
^ eill)8 \ ^Fx(x, а, 0, ф) е~imja'sin ф е?0 е?ф,
о о
(19.12)
где i?1(x, а, 0, ф) — функция, периодическая по 0 и ф с периодом 2тс, явное выражение для которой становится известным, как только будет
найдено выражение для м1(х, а, 0, ф) ^ф=-|-0+&^.
Заметим так же, как и в § 8, что полученные здесь уравнения, определяющие а и & в общем случае, не могут быть проинтегрированы в замкнутом виде, и поэтому приходится пользоваться численными методами интегрирования или ограничиваться исследованиями качественного характера; численное интегрирование уравнений типа (19.4) во много раз проще, чем численное интегрирование непосредственно уравнения (19.1), как об этом уже говорилось.
236 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ ||Гл. III
Перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев уравнения (19.1). В качестве первого частного случая рассмотрим дифференциальное уравнение колебаний нелинейного вибратора, находящегося под воздействием синусоидальной силы, амплитуда и мгновенная частота которой медленно изменяются. В этом случае имеем следующее дифференциальное уравнение:
т^г + кх==г1 (ж> -^г) + ^(^sinS, (19.13)
где ^==v(x). ^ — et, т и А—постоянные.
Колебательные системы, описываемые j равнением такого типа, играют значительную роль в машиностроении, электротехнике и т. д.
Как указывалось выше (см. § 13), в таких системах в первом приближении возможно обнаружить только основной резонанс, поэтому мы
сейчас остановимся на составлении уравнений первого приближения для случая основного резонанса р — 1, <7=1. Для вывода уравнений первого приближения воспользуемся уравнениями гармонического баланса.
В первом приближении для случая основного резонанса решение уравнения (19.13) ищем в виде
х = a cos (0 + ft), (19.14)
где а и & должны быть определены из уравнений первого приближения
-^- = 8А1{х, а, &), |
— = os. — v (х) Н sB1(z, а, ft), j
в которых
о) = Л/ — = const.
V т
Определим Ах(х, а, &) и В1(х, а, &). Для этого находим (с точностью до величин порядка г включительно)
dx da /о i q\ • /о d(9 + s)
~dt = ~df C0S (0 + fr) — a Sln (0 -f- ft) —jt =
= sAx cos (0 + 8) — a® sin (0 -f- ft) — saBx sin (0 -f ft), (19.16)
= s ? (a> — v (d)) -2amB1 J cos (0 -)- ft) — atu2 cos (0 -f ft) —
- e [ (a> - v (x)) a^- + 2uAx ] sin (0 + ft). (19.17)
Подставляя (19.17) и (19.14) в левую часть уравнения (19.13), имеем:
{ т % + кх}х=а cos (9+9) = *»»[(«>- v (*)) ^ - 2амВ1 ] cos (9 + ft) -
— sm ^ (a) — v (т)) а -f2a>АХ j sin(0 -4-ft), (19.18)
так как
тш2 = к.
Мы здесь не учитываем члена гки1(-с, а, 0, 0 + &), так как он не содержит первой гармоники и при интегрировании пропадает.
§ 19] ВОЗДЕЙСТВИЕ «ПЕРИОДИЧЕСКИХ» СИЛ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 237
Правую часть уравнения (19.13), учитывая (19.14) и (19.16), можем представить с точностью до величины порядка г в виде
\sffx, 4гг') + eE(i) sinO} =
I V dt J ' J x=a cos (0 + 8)
= sf (a cos (0 + &), — ш sin (9 -f 8)) -f гЕ (г) sin 0,
или
\ef(x, -^-')-j-s?'(x)sin6]- =
I V dt J ^ ' ' J x-~a cos (04&)
2tc
ecos(6 + &) Г , . ,
=------------ \ / (a cos <J), — aw sin ф) cos ф аф
о
2к
+ -g S‘n- ^ ^ ^ f (a cos ф, — au> sin ф) sin ф с?ф -j- e ^ {fn («) cos n (0 -f 8) -f-
О пф 1
+ /п2)(«) sinn (9 + 8)} -j- гЕ (г) [cos 8 sin(0 + 8) — sin 8 cos (0 + 8)], (19.19)
где
fn («)=-“ 5 /оК ф) cos /|ф с?ф,
О
2тс
/«’(«) $ fo(a> «Ювтпфйф,
о
причем
/0(а, ф) = /(асозф, — ашвтф).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s и одинаковых гармониках (соответственно при синусах и косинусах) в правых частях выражений (19.18) и (19.19), находим систему уравнений, определяющую А1(ъ, а, 8) и Вх(т:, а, 8):
2 тс
/и ? (ш — v (г)) ---2awB1 J ^ /0 (а, ф) cos ф с?ф — Е (т) sin 8,
\ (19-20)
1п ^(яг — v (т:)) а -j- 2wAx j = — ^ /0(а, ф)sinф— ^С1)cos j
из которой без затруднений находим:
2 тс ч
4(,, а, ft)=_^J_. J/о(а. ф)8шфс?ф- TO[tfjT!(T)]-cos8, j
> (19.21)
Яд(т, а, 8)= _ 2^5 /o(G’ Ф) C0S^^ + ^T^+V)] SmlK
о '
238
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИП
[Гл. III
После этого уравнения первого приближения принимают следующий вид:
2тс
— ------— S /о(“• Ф)51пФ^~7^+(vV)j cos&’
= Ф)совф^ + т Sinft. I
0 J
dt 2тстсо
2тс > (19.22)
i?L _ _м /л-\ _ ? _ С ^ ,к\ л л,к i eJ? (*)
dt
о
Воспользовавшись обозначениями (15.5) (см. § 15), систему (19.22) можно записать следующим образом:
da . v еЕ (г) „ ч
— —%(а)а---------г--, / м COS 8,
dt е v ' т |u>4- \ (т)| ’
, \ , \ I sEW • ч (19.23)
_ = ^a)-v(x) + _^_sm&, j
где (а) и о>е (а) являются соответственно, эквивалентным декрементом затухания и эквивалентной частотой для нелинейной колебательной системы, описываемой уравнением (15.6).
Для нашего случая гм1(х, а, О, б г 8) мы можем найти либо воспользовавшись формулой (19.11), либо непосредственно как вынужденные колебания, возбуждаемые в исследуемой системе высшими гармониками, находящимися в правой части выражения (19.19), т. е. суммой
е 2 {fn' (a) cos п (0 4- ft) -(- /^2) (а) sin п (0 4- &)}.
Пф 1
