Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
? = a0cosy« — ^cos~ t, (17.43)
(17.44)
, v2 , Ь2 , 7A2v2
T + ^F + 128-
или
a: = a0sia|«+^sin|«, (17.45)
v2 Av2 lh\2
U)2=4-1-+!^- (17‘46)
В^этих формулах мы для^удобства включили /ш в полную амплитуду
первой гармоники а0.
Полагая v = 2 и а0 — 1, находим:
а; = cos t — A cos 3t,
to =1+т+з2;
х = sin ? + тт; sin 3i, I
, , Ь,™* (17'48)
a>=1—2+12- J
Выражения (17.47) и (17.48), как и следовало ожидать, совпадают
с первыми двумя членами в разложениях функций Матье Сп и Sn (для п = 1) в ряд Фурье. Действительно, имеем*):
а также
Сх = cos t — ^ cos 3i -j- 0 (/г2), “Ci= 1 + у + -gg- + О (/г3),
Sx = sin t + ~ sin 3t\0 (/г2),
«4 = 1 -i+7-^ + 0(h3).
(17.49)
(17.50)
Остановимся теперь на построении приближенных решений уравнения (17.10) и определим границы областей неустойчивости в случае
«> ^ jP, где р = 2, 3.
Для случая р — 2, т. е. w «s v, полагаем в формулах (14.21), (14.23) и (14.26) р = 2, q=2.
Тогда для второго приближения найдем следующее выражение:
*_«CM(»; + ») + ^^»oS(2v<+ 4+5^^ со,», (17.51)
*) См., например, М. Д. О. Стретт, Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике, стр. 35—39.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС 217
где а и & должны быть определены из уравнения второго приближения: da h2aa)i . \
т~ = 0 9 /о--;Sm 29,
dt 8уЧ2о)—у) ’
d$ h\о4 й2<о4 0<l I (17.52)
— = Ц) — V — . ,.о---аГ + b 2 /о--г COS 2th
at 4v (4сог — v2) 1 8v^(2a>— \) /
Из системы (17.52), так же как и в предыдущем случае, находим условие вещественности корней характеристического уравнения
4v (4a)2
<
/г2ш4
8v2(2io — v)
(17.53)
и, следовательно, зона неустойчивости определяется с точностью до величин второго порядка малости неравенством
, 2А2а)4 й2ш4 /2о)\2 _ . , 2й2<о4 , /г2о)4
V2 (4юа---V2) V3 (2о>— v)
/ 2a)\2 2й2ю4 , А2о)4 м7 у,
I ) 'С 4 2Т/—2------------2\---- 3То--------\ (17.54)
V ч У \‘!(4ю‘! — v”1) \л(2а>— v) '
или, принимая во внимание, что со ss v, с той же степенью точности неравенством
4 + ^-/г2<^У <; 4 + ^+/г2. (17.55)
з
Для случая р = 3, т. е. необходимо подсчитать третье при-
ближение, так как во втором приближении мы получаем только поправку, уточняющую значение собственной частоты со. После ряда выкладок находим:
..........( з „ , . <о*аЛсо8(т* + 0 со8(у* + 01 ,
ж —acos^ 2 vi + ft J 2 j v(2io + v) v(2u)—V) J +
t 2 4 Ic°s ( -K-vt+a4) COS ( Z-t— 0 \
+ ЖТ /? 4. W + (+'19 W-----------------------T ’ (17-56)
Ibv4 \ (2co 4- v) (v + to) 1 (2to — v) (to — v) ) v '
где a и & должны быть определены из системы уравнений третьего
приближения:
da - fe3o)6a_______sin 2ft 1
dt~ 3 • 25v3 (2a) — v) (i«— v)
rfft _ 3 0)4Й2 /i3(l)6 I (17-57)
2V 3-2v (4a)2 — V2) 3-25v3 (2a) —v) (a) —v) C°S J
Попутно заметим, что в общем случае из-за громоздкости не выпи-
сывались выражения для третьего приближения. Структура же уравнений (17.57) свидетельствует лишний раз о том, что в конкретных случаях даже уравнения третьего приближения весьма просты.
Из системы уравнений (17.57) находим для зоны неустойчивости неравенство
» + ~ 2V (2,“-:,< (т )‘ ¦< Э +
+ ^^ + 2V(2„-T,i")' f17'58)
218
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
1Ги. III
или с той же степенью точности
81Аа 3е/г8
64 ' 2е '
(17.59)
Приведем здесь также неравенство определяющее зону неустойчивости в случае ш % у . Согласно (17.20) имеем:
Из анализа неравенств (17.55), (17.59) и (17.60) очевидно, что величина (ширина) области неустойчивости уменьшается с ее порядком р, как КР.
Таким образом, высшие резонансы р = 2, 3, ... можем наблюдать, рассматривая соответственно второе, третье и т. д. приближения, а при рассмотрении точного решения уравнения (17.10) получим бесконечный спектр резонансов.
На рис. 103 приведены первые три зоны неустойчивости, построенные согласно неравенствам (17.55), (17.59) и (17.60).
Заметим, что при наличии затухания, т. е. для уравнения
эти зоны уменьшаются (см:, на рис. 103 заштрихованные области). Нетрудно показать, что вместо рассматриваемых неравенств при наличии трения мы получим следующие:
Неравенства (17.62), (17.63) и (17.64) содержат еще дополнительные условия:
для первой области
Как нетрудно видеть, при наличии затухания, для того чтобы был заметен резонанс co^v, требуется гораздо большая глубина модуляции
(17.60)
(1/.61)
(17.65)
для второй
(17.66)
для третьей
(17.67)
параметра hu>2, чем в случае резонанса шя»у- Еще тяжелее осуществить резонанс
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
219
Поэтому обычно наибольший практический интерес представляет
резонанс у.
Рассмотрим теперь параметрическое возбуждение в нелинейной колебательной системе.
Заметим, что приведенный выше случм показывает, что в линейной колебательной системе при параметрическом изменении массы или жесткости системы при определенных условиях положение равновесия становится неустойчивым. Даже при очень малых значениях ш2/г (глубины модуляции) в системе при определенном соотношении частот возникают колебания, амплитуда которых неограниченно возрастает.
При наличии в линейной системе диссипативных сил влияние последних сказывается только на условии возбуждения колебаний — при наличии диссипации глубина модуляции, при которой наступает резонанс, имеет некоторый нижний предел, отличный от нуля и зависящий от величины декремента затухания. Стационарных колебаний при наличии трения в линейной системе не будет.
