Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Одной из типичных задач, сводящихся к рассмотрению указанных уравнений, является задача о поперечных колебаниях стержня, находящегося под воздействием продольных периодических сил.
Допустим, что на стержень, длиной I, закрепленный шарнирно по концам, с площадью поперечного сечения А, с жесткостью EI и плотностью у, действует периодическая продольная сила
F = F(t) (17.1)
(см. рис. 102).
Тогда дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня может быть представлено в следующем виде:
EI
д^у . уА д2у
dz4.
dt2
+ F(t) 1^ = 0,
(17.2)
где g — ускорение силы тяжести.
В случае шарнирно закрепленных концов граничные условия для дифференциального уравнения (17.2) будут:
= 0 2—0 ’ dz^
д2У dz2
= о,
-о,
Z—1
0.
(17.3)
Очевидно, что уравнение (17.2) вместе с граничными условиями
(17.3) путем подстановки
у = х sin % —
(17.4)
*) См., например, работы В. Н. Челомея [46, 47].
210
В ЛИЯ НИВ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
может быть сведено к следующему:
ей2 1
где введено обозначение
gn^EI
= •
(17.6)
4АР
Уравнение (17.5) является известным уравнением Хилла.
К уравнению (17.5) может быть приведена также задача о колебаниях математического маятника, ось вращения которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, задача
о колебаниях механической системы с периодически изменяющейся жесткостью, задачи амплитудной модуляции и многие другие.
В случае, если периодическая функция F (t) имеет следующий вид:
F (i) = Р0 cos vi, (17.7)
то вместо (17.5) получаем уравнение
d?x „ Г , 12Р0 ¦
dt2 I кЫ
cos vi
] x = 0, (17.8)
которое называется уравнением Матье.
Как уравнение Матье, так и уравнение Хилла являются частными случаями дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами
^- + p(t)^ + q{t)x = 0, (17.9)
где р (t) и q (() — периодические функции i с периодом Q.
Уравнения типа (17.9) подробно исследовались рядом ученых, однако существующие теории (см., например, А. М. Ляпунов [27]) дают возможность производить только качественный анализ поведения реше-ний уравнения (17.9) и не указывают способов построения приближенных решений или способов, позволяющих решить вопрос об устойчивости этих решений.
Для частного случая уравнения (17.9) —для уравнения Матье — построены решения (функции Матье), которым посвящена обширная литература.
Во многих случаях дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами могут быть сведены к рассмотренному в § 13 уравнению
(13.1), и поэтому приближенные решения можно построить согласно изложенному методу.
Ниже мы построим приближенные решения, а также определим зоны устойчивости в первом и во втором приближении для простейшего случая уравнения с периодическими коэффициентами (17.9) —для уравнения Матье—и сопоставим полученные результаты с решениями, известными в литературе.
Итак, перейдем к построению приближенных решений для уравнения (17.8), которое можем записать в виде
/¦/2 /у»
-^2 -j- ш2 (1 — h cos vi) х = 0, (17.10)
где обозначено
§ 17]
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
211
Как уже указывалось, в первом приближении мы можем рассматривать для уравнения типа (17.10) лишь главный демультипликацион-
ный резонанс /?•= 1, q = 2. Предполагая, что w у , построим приближенные решения, соответствующие резонансному случаю.
В первом приближении, воспользовавшись формулами (14.25), имеем:
Чтобы решить полученную систему уравнений первого приближения, введем новые переменные и и v согласно формулам
Дифференцируя выражения (17.13) и принимая во внимание уравнения (17.12), имеем:
Таким образом, уравнения первого приближения (17.12) мы привели к системе двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Характер решении системы уравнений (17.15) и, следовательно, решений системы (17.12) зависит от корней характеристического уравнения
(17.11)
где а и 8- должны быть определены из системы уравнений:
(17.12)
u —a cos 8-, y = asm&.
(17.13)
(17.14)
или
(17.15)
или
(17.16)
Обозначим корни этого уравнения через
причем
(17.17)
Л2
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
СГл. III
Тогда общее решение системы дифференциальных уравнений (17.15) может быть представлено в следующем виде:
v = Ct-
~hm2
"27“
и = Схеи + С2е~и,
f V Л /)Ш2 / V \
т). -57-С—т)
1 е \-----------------
(17.18)
где С1, С2 — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.
После этого определяем амплитуду а и фазу колебаний 9-, входящие в правую часть формулы (17.11). Имеем:
а2 — и2-\- v2, 8- = arctg —
(17.19)
Согласно формулам (17.17), (17.18) и (17.19) очевидно, что при X мнимом амплитуда а будет ограниченной функцией времени.
В случае, если X действительное, амплитуда а будет возрастать по экспоненциальному закону. Этот случай соответствует наличию в системе основного демультипликационного резонанса.
Согласно равенству (17.17) условие вещественности X будет следующее:
hm2 v
"~27 > W~T
(17.20)
или с точностью до величин первого порядка малости
h со
>
так как v = 2ш+ (? (Л).
Таким образом, если частота внешнего возбуждения находится в интервале
