Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
***) J. P. Den Hartog and R. М. H e i 1 e s, Forced Vibration in Nonlinear Systems with Varions Combinations of Linear Springs, Journ. of Appl. Mcch., vol. 3, Ai: 4, p. 126-130 (1936).
$ 16]
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ|НА СИСТЕМУ
199
где функция F (х), выражающая зависимость нелинейной восстанавливающей силы от смещения, является нечетной функцией х (случай сим-
|m/www| X (WWWWVl
шттг
метричной нелинейной характеристики) и имеет вид, например, приведенный на рис. 84 — 87.
I^vwwwwj
/WWWWWW
iM/VWWWj
X
[МММЛМ ^ WWWWWW^ fwvwwwv
/wwwvwwwvwj
А
/ ' ! i Jy \
Рис. 87.
Заметим, что если характеристика нелинейной восстанавливающей силы несимметрична, то при помощи изложенного метода также не представляет затруднений построить решения.
Предположим, что F (х) можно записать в виде
F (.г) = с"г + е/ (х)\
(16.2)
200 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ [Гл. III
тогда вместо уравнения (16.1) можем рассматривать следующее:
d"x +с"х= ~sf(x) + ef1( + (16.3)
dt2 I - I -л ^ dt _
и, следовательно, согласно (15.2) и (15.3) в первом приближении имеем решение
а: = a cos (vi + ft), (16.4)
где а и 9 должны быть определены из системы уравнений:
2п
ж= -^M-aMsii^)sin^-^cos&’
о
2то i
— со — v + \ f (a cos ф) cos ф с?ф -\-------^-—г sin &. I
' 2 теша т/ т т 1 а(со + м) J
V
(16.5)
Принимая во внимание, что
2.TZ 2tz
щ2 + ^ ^ / (a cos ф)соэ ф с?ф = — ^ F (a cos ф) cos ф di>, (16.6)
о о
преобразуем (16.5) к виду
da ч / \ zE а
-г- = — о. (а) а------------------------ — cos »,
at е \ ^ >
с?8- , . s/г . „
-г- = а», (а) — v Н-----------------?—¦—г- sin »,
dt ек ' a(io + v) ’
(16.7)
где, как и выше,
2п
5е^ = *~Я(0sin^sinФ^16‘8)
О
2tz
о»| (а) = ^ F (а cos ф) cos ф с?ф. (16.9)
о
Приравнивая в уравнениях (16.7) правые части нулю и исключая 0, находим зависимость между а и v для стационарного режима:
a2[(co2(a)-v2)2 +- 4v2o2(a)]=s2E2. (16.10)
Если пренебречь трением, то вместо (16.10) 'получаем следующую
простую формулу:
а [со2 (a) — v2] = ± еЕ, (16.11)
при этом в правой части следует брать « + » для а > 0 и « —» для а < 0.
Приведем еще соответствующие формулы для второго приближения.
Пренебрегая в уравнении (16.1) трением, имеем:
х = a cos (yt + 9) + (a, vi, W-f-9), (16.12)
где
CO 2^
Вц (a, v«, vi +9) = -?-2 T2 "l-У ^ t C0S ^ C0S Ф (16ЛЗ)
n=2 0
§ 16] ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА СИСТЕМУ 201
а амплитуда стационарных колебаний определяется соотношением
СО
я [со! (а) - Л +| 2 /П (й) (а)] = ± sE’ (16Л4>
71—2
в котором введены обозначения:
2 ГС \
1 Г
/п (я) = — ^ / (я cos ф) cos пф d<b, |
> (16-15)
fn' («) = ^ fa (я cos ф) cos /гф йф. |
о J
Перейдем к построению резонансных кривых. Для характеристики
нелинейной восстанавливающей силы, приведенной на рис. 84 — 87, имеем:
ic'x для — ?0<а;<а;0,
с"х+(с’ —с")х0 для Ж0<а;<оо, (16.16)
с"х — (с' — с") х0 для — оо < х< — х0.
Положим я > 0, а > х0 и обозначим через ф0 наименьший корень
уравнения
ж0 = ясозф. (16.17)
Тогда, как нетрудно видеть,
Г (с’— с") a cos ф для ф0<ф<и — ф0,
е/ (я cos ф) = | (с'— с") я cos ф0 для 0< ф< ф0, (16.18)
I — (с' — с") a cos ф0 для тс — ф0<ф<т:.
Разбивая промежуток интегрирования на три части, после элемен-
тарных вычислений находим:
1 О
— \ s/ (я COS ф) COS ф Ц =
о
= с"а(с' —с") ? я arcsina;0|/"l —J . (16.19)
При я < 0, | я | > х0 после аналогичных вычислений имеем:
2«
— ^ е/ (я cos ф) cos ф йф =
о
= с"я — (с' — с") arcsin ¦^-Jrx0^/'l — ] • (16.20)
Таким образом, при отсутствии трения согласно (16.11) получаем следующую зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы:
a(c"_v2)+A(C'_ с") |^0j/i_(^y +a arcsin^] = ± еЕ
202
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
и ли, ооозначая
-'l(c"-v2)+|(c'-c")[/1 — + A arcsin -^- ] = ± . (16.21)
При помощи зависимости (16.21) строим семейство резонансных кривых (рис. 88—91) ( зависимость между — и , где о>2 = j/с" ) для
Ч *0 ®2 J
Е
различных значении
с хп
Резонансные кривые, приведенные на этих рисунках, практически совпадают (в пределах точности построения графиков) с резонансными кривыми, построенными по точным формулам Ден-Гартога и Гельса.
Для построения резонансных кривых во втором приближении необходимо определить выражение для суммы, входящей в формулу (16.14). Заметим, что подсчет этой суммы не вызывает затруднений, так как ее слагаемые с увеличением п быстро уменьшаются, и поэтому достаточно подсчитать только несколько первых слагаемых.
Принимая во внимание (16.18), находим для интегралов (16.15) следующие значения:
2 rc п—1
^ s/ (a cos ф) cos /гф йф = гс С ^ а (~ 1) 2 cos (п arcsin +
о J
П—1 П+1
( — 1) 2 • Г / ич . ж, 1 2
' ' -Sin 1 -
П -
in ^(/i — 1) arcsin 1 sin ^ (/i+ 1) arcsin^ J | (16.22)
(п = 3, 5, 7, 9, ...),
^ $/о (а cos ф) cos /гф й!ф = — —- (с' — с") sin п arccos ~-
(п = 2, 4, 6, 8, ...).
Подставляя (16.22) в выражение (16.14) и ограничиваясь в сумме пятью слагаемыми, получаем:
a (v2 — с") — ~ (с" — с") [ху 1 + a arcsin^- J -f
I Д j^/з (a) [/a1’(g)+/111 («)] | /а (я) [А11 (а) + /б1; И] j j 2^ — 0, (16.23)
