Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где fn(a) и fn'(а) (п = 2, 3, 4, 5, 6) определяются выражениями:
/.о-[1+2^]
# + « j-]», /;¦»+/;” ‘-ft1-?-] ¦
+^г/1-ж(1-2т)]- (16-24>
§ 16]
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА СИСТЕМУ
203
Рис. 83.
Рис. 90.
204
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
При помощи зависимости (16.23) строим резонансные кривые во втором приближении (см. рис. 92, 93, 94, на которых резонансные
кривые, а также скелетные кривые во втором приближении начерчены пунктиром, причем следует заметить, что масштаб здесь значительно увеличен; сплошные линии —кривые в первом приближении).
На рис. 95 — 98 нами приведены семейства резонансных кривых, построенных с учетом трения согласно формуле (16.10). При построении
этих кривых трение принималось пропорциональным скорости, а 0,1.
Рассмотрим еще случай, когда характеристика нелинейной восстанавливающей силы имеет вид, приведенный на рис. 99. Для вычисления ше (а) согласно формуле (16.9) имеем:
f с'х
| с"ж + (с"— с') (хх — х)
F (х) = ’ с"х + (с" — с') (хх — х)
| с"х— (с" — с') (х2 — хх)
I с"х + (с" — с') (х2 — хх)
для — х1<х<х1, хх <х<х2,
— х2 < хС —хх. х2 < х <. со,
— оо <; х <; — х„
(16.25)
Для определения интеграла, стоящего в правой части формулы (16.9),
обозначаем через фх и ф2 наименьшие корни уравнений хх = a cos ф,
jc2 = a cos ф. Тогда можем написать:
с!’a cos ф, ф1<ф<те —фх, с"a cos ф + (с" — с') (a cos фг — a cos ф), ф2^ф<-ф1; с" a cos ф + (с" — с') (a cos фх —a cos ф), i*1 (асоэф) = <( tj — фхс ф<;и — ф2, (16.26)
с"a cos ф — (с" — с') (a cos ф2 — a cos фх),
0< ф< ф2, с!'a cos ф -j- (с" — с') (a cos ф2 — a cos фх), к — ф2 < ф < Тс.
После этого, разбивая промежуток интегрирования на пять частей, получим для ч>1 (а) следующее выражение:
!(«)=<
2 (с"-с')
arccos-
¦ arccos —L +
<1б-27>
Полагая для упрощения, что трение пропорционально первой степени , f dx \ „, dx
скороеги efx {jW)=
имеем:
к («)=3-
Для построения графика зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней возмущающей силы получаем следующую
§ 16]
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА СИСТЕМУ
205
206
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
Гис 94.
Рис. 95.
Рис. 96.
§ 16]
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА СИСТЕМУ 20/
зависимость:
'? = <(а)±У~- 4о2«>2, (16.28)
при помощи которой строим график, определяя значение ч в зависимости от значений а. Согласно соотношению
ч = ше(а) (16.29)
строим кривую зависимости собственной частоты от амплитуды. На
рис. 100 нами приведено семейство кривых, характеризующих зависимооь амплитуды от частоты внешней силы при различных амплитудах внешней
силы (семейство резонансных кривых). При помощи критериев, приведенных на стр. 189, нетрудно определить устойчивые и неустойчивые зоны этих резонансных кривых, а также точки «срыва» и «скачка» амплитуды. На рис. 101 нами приведена одна из резонансных кривых, причем участки
208
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
этой кривой, начерченные жирной линией, соответствуют устойчивым амплитудам, а начерченные тонкой линией соответствуют неустойчивым
амплитудам.
Так, согласно резонансной кривой, приведенной на рис. 101, при бесконечно медленном изменении частоты внешней силы (т. е. при стационарном режиме), начиная от малых значений, амплитуда вынужденных колебаний нарастает сначала по кривой МА, из точки А значение амплитуды скачком переходит в точку В и далее изменяется по кривой ВС. В точке С происходит срыв амплитуды — амплитуда скачком переходит в точку D и при дальнейшем увеличении частоты изменяется по кривой DN.
Если теперь начать уменьшать частоту приложенной силы, то амплитуда вынужденных колебаний будет изменяться по кривой NDE. Из точки Е амплитуда скачком перейдет в точку F и дальше будет изменяться по
кривой^-БС. Дойдя до точки G, амплитуда скачком перейдет в точку II, после чего будет] изменяться по кривой НМ. Таким образом, мы здесь также наблюдаем характерные для нелинейной колебательной системы глстерезисные явления, аналогичные рассмотренным нами на стр. 191.
ПАРАМЕТГИЧЕСКИП ГЕЗОНАПС
209
Приведенные примеры показывают большую гибкость и широкий диапазон применения изложенного метода. Получаемые формулы даже для сложной характеристики нелинейной восстанавливающей силы достаточно просты. В случае, если характеристика составлена из двух отрезков прямых, получим совсем простую формулу (заметим, что в первом приближении для стационарного режима получаем результат, совпадающий с результатом Лурье и Чекмарева). Если характеристика нелинейной восстанавливающей силы состоит из нескольких прямолинейных отрезков, то наши формулы претерпевают совершенно незначительное изменение, в то время как метод Ден-Гартога настолько усложняется, что становится практически неприменимым.
I ¦
Рис. 102.
%т>
Г
§ 17. Параметрический резонанс
В настоящем параграфе остановимся на рассмотрении некоторых колебательных систем, изучение которых сводится к интегрированию дифференциальных уравнений с переменными (зависящими от времени) коэффициентами. Наибольший интерес представляет случай периодических коэффициентов. Как известно, кроме проблем небесной механики, ряд чисто технических задач приводится к рассмотрению дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами *).
