Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Характер решений уравнения (18.25) можно обнаружить и непосредственно, не производя предварительно его интегрирования.
Пусть, например,
етЛп
--т
(18.26)
d?
Тогда производная щ будет знакопеременной функцией с вида, изображенного на рис. 108.
Таким образом, очевидно, существуют постоянные решения являющиеся корнями уравнения
*Ч6) = -
т
етЛг.
2
cos(6-ftm) = 0.
(18.27)
226 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ [Г*. III
При этом те из решений, для которых
*¦'(*) = *-^s in(S-»J>0,
неустойчивы, а те решения, для которых
F>{%) = srnA^s in(S_»J<0f
устойчивы.
Так как в рассматриваемом случае % = т = — m<p, имеем:
откуда очевидно, что вынужденные релаксационные колебания с течением времени приближаются к установившимся периодическим колебаниям, соответствующим различным ксрням уравнения (18.27) и совершающимся с частотой, точно равной субгармонике ^ частоты ч внешней силы.
Таким образом, для значений частоты v, лежащей внутри резонансной полосы, определенной неравенством (18.26):
т-
егпАп
(18.29)
2
имеет место явление синхронизации.
Ширина резонансной зоны в первом приближении
j smAnl |,
как видно, пропорциональна амплитуде внешней силы.
Рассмотрим теперь случай, когда v лежит вне резонансной зоны и, следовательно:
гтА
-— т >
W
2— • (18.30)
В этом случае согласно уравнению (18.25) очевидно, что производ-
di „ V
ная — имеет постоянный знак, равный знаку разности — — т. Интегрируя уравнения (18.25), получаем:
9 = ^ ^-------------[-const,
Т v smAin t 1
0-----m--------§— C0S m)
откуда находим:
где
ч
^ — произвольная постоянная, / (?)— периодическая функция ? с периодом 2тс:
J 18] - ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА РЕЛАКСАЦИОННУЮ СИСТЕМУ 227
где а (9) — периодическая функция 9 с периодом 2тс.
Подставляя значения 9 (18.37) в правую часть (18.31), получаем;
Подставляя (18.38) в (18.28), находим окончательно приближенное выражение для вынужденных релаксационных колебаний в виде
Таким образом, в рассматриваемом случае колебания являются кратно периодическими и совершаются с двумя основными частотами — с частотой Qp, которую можно было бы назвать измененной собстьенной частотой, так как 2р —со при г = 0, и с частотой биений
представляющей разностный тон между частотой внешней силы v = m2, и т-м обертоном измевенной собственной частоты.
Заметим, что при приближении v к границе резонансной зоны а—> О а потому стремится к нулю и частота биений.
Кроме того, нетрудно показать, что при удалении от резопанса интенсивность биений, определяемых функцией а, уменьшается и измененная
Здесь
Р = arccos -...^ 0 < р < 1C.
(18.34)
(18.35)
Положим
а(<р —»о) = 0;
тогда
(18.36)
и
(т + а) 0 + aF (0) = а (vf — mfr0), откуда, решая это уравнение относительно 0, находим:
(18.37)
9 = QPt + ?i + а l> (Qs - QP)t - m?il>
(18.38)
где обозначено:
x = z {Qpt + + а [т (Qs — Qр) f — т<рх]}.
(18.39)
f m (Qe — Qp) | = -^_|«j/(v_ira«>)a
^т*А\
4
(18.40)
228
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
собственная частота Qp приближается к своему значению «>, соответствующему свободным колебаниям.
Перейдем теперь к построению второго приближения. Для этого прежде всего найдем выражение улучшенного первого приближения. Рассмотрим сначала общий случай произвольного рационального
значения отношения — .
?
Воспользовавшись разложением Фурье (18.21), получаем для коэффициента при первой степени s в правой части уравнения (18.20) выражение
Д- *-
qm
cos
z' (у)
= Д-
A cos(x + |-<p)-
-fs TL{C0SL(w + f)}9 + ' + a"]+C0S[(w“f)9~' + a"]} •
пф 0
Поэтому улучшенное первое приближение будет иметь следующий
вид:
где
и(?> ?) = ~ 40sin f I-
Р_
q
X = $ + ги(ф, $), (18.41)
¦| (^п + СР+^ + j
‘ q Zj 2 пф О
га-1-
Р_
Я
sin j (^га —-~-)ср—? + 9П|
/ , Р
¦ пф— Q
\пф 0,
п-Р
. (18.42)
Подставляя значение т (18.41) в уравнение (18.20) и усредняя по ср, получим уравнение второго приближения;
dl d ср
Ч о
cos S «р a>z' (ср)
+ е*Л/
sm
OfO
»(?. ?)¦
a>z' (ср)
(5+f О Д 008(5+f*)
[юг' (ср)]2
z' (cp)
(18.43)
Рассмотрим сначала нерезонансный случай, когда отношение --
не равно ни целому, ни половине целого числа, и следовательно, когда частота внешней силы не лежит вблизи обертонов собственной часто-
гео>
ты — то и ее половины—^ •
Заметим, что в принятом нерезонансном случае для любых целых п и т имеем неравенства
|'18] ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА РЕЛАКСАЦИОННУЮ СИСТЕМУ 229 Далее, на основании (18.21) имеем:
cos ( ? + — ф ) , N
(02 ' (ср) 0 V. J
-*-у 2 Лъ {C0S [(re + f) ? + * + *»] +
q у > (18-44)
nqbO
COS
+ T 2 {sin [(re + f ) 9 + ^ + ^»] -
n=?0
-sin
Поэтому, учитывая (18.42) и (18.44), можем написать:
cos ( 5 + — ср ) ¦
М{------^ } = О,
(02' (у)
COS2 ( ?+-^-ср^ ^
n^fcO
sf
После этого уравнение второго приближения (18.43) принимает следующий вид:
dt
dcp
= SA + S2T=_V__Z +г2у
( * m n * ,
где обозначено
P v
y = t2
(0 (J
(18.45)
(18.46)
Интегрируя уравнение (18.45), находим:
[^~’?' + г2т ] <Р + ^о»
где ^ — произвольная постоянная. Принимая во внимание (18.41), полу чаем следующую формулу второго приближения:
