Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользовавшись формулами (14.39) и (14.25) и полагая р = \, <7=2, после ряда выкладок получаем:
у = a cos (t + &), (15.5У)
где а и & должны быть определены из системы уравнений первого приближения
da Г 1 ( , f®2 Л 1 ТЕга аЕ . „„1
. = e|_a^A+J_j+T_ + _sm2&j ,
dt dft dt
= s {-^+Tcos24 •
(15.60)
Система уравнений первого приближения (15.60) дает возможность исследовать как стационарный режим, так и процесс установления колебаний при резонансе второго рода.
196 sВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ [Гл. III
Для исследования процесса установления колебаний необходимо проинтегрировать систему (15.60) и найти а и 8 как функции времени. В данном случае интегрирование системы (15.60) может быть произведено до конца. Для этого сделаем в уравнениях (15.60) замену переменных согласно формулам:
к = а cos 8, v = a sin 8. (15.61)
После ряда выкладок вместо уравнений (15.60) получаем для новых переменных и и у следующую систему:
чг = е [а + |(«2 + у2)]
Л г 1 г... . . 1 „ (15.62)
dt
= S [A + -J-(K2 +У2) ]
Система (15.62), как это показано в работе [29], может быть приведена к уравнению типа Бернулли.
Действительно, умножая уравнения (15.62) соответственно на у и и и вычитая из первого второе, находим:
du dv 9 d
v—i------------к -г- = гг -г-
dt dt dt
Умножая первое уравнение системы (15.62) на к и складывая полученный результат со вторым уравнением, умноженным на v, получим:
da Г , . т /' . 2 Е2 "S ~] 2=uv „ . _
— = аа [k + T^a-t~ )\+— Е. (15.64)
Обозначая
т = ъ (15-65)
можем вместо (15.63) и (15.64) написать следующую систему:
Я-Ж-т-т^-С-т+т)]' <15-66>
т=«[*+т(« + Т)]“^тт^- <15-67>
Уравнение (15.66) легко интегрируется.
После того как мы определим из него (15.67) может быть
приведено к виду
= + (15.68)
где 9(t) —известная функция времени.
Подстановкой W = (15.68) приводится к линейному уравнению
§ 15]
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА ВИБРАТОР
197
В результате получаем следующую известную формулу, выражающую закон изменения амплитуды колебания со временем:
(О *
(15.70)
dt
где Сх — постоянная интегрирования.
Перейдем теперь к определению установившихся колебаний, совершающихся с постоянной амплитудой и фазой.
Приравнивая правые части системы (15.60) нулю, получаем соотношения:
"2 т FJ , Е . 0„ л Н—д-зш2&— 0,
— у + -|- cos 29- = 0,
Исключая из (15.71) фазу 9, находим известную зависимость
2 ?'2
9
, (15.72)
Tl ' Р
при помощи которой можно построить резонансные кривые, характеризующие зависимость амплитуды а от расстройки \ (рис. 83). Стационарные значения фазы & находим с помощью формулы
„2 лЕг
tg 29- =
(15.71)
л и фазы колебаний.
a
¦ч \
If ?=0,75 \ 1
(15.73)
О
Рис. 83.
где а определяется из (15.72).
Для определения устойчивых значений стационарной амплитуды поступаем согласно общим правилам.
Находим сначала величины:
Е
36
sin 29,
Еа
А$ (а, Ь) = -д- cos 2&, Ва (а, Щ = 0,
(15.74)
В& (а, &) = — sin 2&.
Е_
3
После этого составляем уравнения в вариациях:
— {K*+i?i)+ lP ¦Е
сВа
dt
li+fsin28}“ +
+ j^cos2&o&, >
(15.75)
E . Г)о ' о
—j— —-------^-sin/oo»,
dt 3 ’
198
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
из которых находим условия устойчивости стационарных значений а и 9: + ^ + ^sm2b-^sm2&< О, I
29)>о. | (15Л6)
Эти условия после ряда преобразований можно представить в виде следующих известных неравенств:
A + + t <°> (15-77)
¦i[k + ^ + JS-]>0’ (15-78)
анализ которых совместно с зависимостью (15.72) дает возможность определить величину и границы областей устойчивости периодического решения с периодом 2тг*).
§ 16. Воздействие синусоидальной силы на нелинейную систему с характеристикой, составленной из прямолинейных отрезков
В качестве второго частного случая рассмотрим колебания в нелинейной системе с характеристикой, составленной из нескольких прямолинейных отрезков, находящейся под воздействием синусоидальной возмущаю-
щей силы.
Колебательные системы, для которых нелинейная восстанавливающая сила имеет характеристику, состоящую из отрезков прямых (рис. 84, 85, 86, 87), широко распространены в технике.
Исследованию вынужденных колебаний в нелинейных системах такого типа иосвящен ряд работ, например работы А. И. Лурье и А. И. Чекма-рева **), где приводится решение методом Галеркина; для некоторых начальных условий специального вида Ден-Гартогом ***) строится решение, которое можно рассматривать как точное, однако это решение чрезвычайно громоздко.
Для решения подобных задач нам представляется все же более удобным применение вышеизложенного асимптотического метода, который в первом приближении дает те же результаты, что и метод Галеркина, ио одновременно с этим позволяет легко определить второе приближение, найти поправки к частоте во втором приближении, а также исследовать не только стационарный режим, но и проследить движение системы в период установления колебаний.
Итак, предположим, что колебания системы описываются уравнением вида
+ F И = *h ( ^ ) + *Е sin v*, (16.1)
*) См. [29], т. II, стр. 36.
**) А. И. JI у р ь е и А. И. Ч е к м а р е в, Вынужденные колебания в нелинейной системе с характеристикой, составленной из двух прямолинейных отрезков, журнал Прикладная математика и механика, т. I, в. 3 (1938).
