Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Как указывалось выше, в колебательной системе, описываемой уравнением (15.1), в первом приближении возможно v обнаружить только один резонанс, а именно главный резонанс (р = 1, 9 = 1). Демульти-пликационные резонансы заметны только при рассмотрении высших приближений.
Для того чтобы проиллюстрировать это, построим первое и второе приближение для колебательной системы, описываемой уравнением
(15.28) в случае p = l,q = 3.
Согласно формулам (14.38), (14.39) в первом приближении имеем:
(15.39)
х = a cos
П +
§15] ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА ВИБРАТОР 193
где а и 8 должны быть определены из уравнений
da _ 5а 1
~dt = “ ~Т ’
db , 1,3 а2 [ (15.40)
Правые части уравнений (15.40) зависят только от а и характеризуют систему в нерезонансном случае. Интегрируя эти уравнения, получаем для х выражение
х — а0е 2<cos?i —+ , (15.41)
а0 и 80 — произвольные постоянные. Таким образом, в первом приближении колебания системы описываются затухающей по экспоненциальном}г закону косинусоидой и частота колебаний зависит от амплитуды.
Никакого эффекта резонанса в первом приближении не будет; а ввиду того, что амплитуда внешнего синусоидального возбуждения порядка s, то в первом приближении не имеют места даже вынужденные колебания с частотой возбуждения (вынужденные колебания будут заметны при рассмотрении улучшенного первого приближения).
Подсчитаем теперь второе приближение. Воспользовавшись формулами
(14.40) и (14.41), находим для х следующее выражение:
х = a cos^-|- vi + 8^ cos 3^-^- vi -j-8^ — sinvi, (15.42) в котором а и 0- — решения уравнений:
da 5a 3 „ » 3а2Е, оа
-п= —^- + та(1а----------------------7------cos 38,
dt 2 16 32(l+-J'
rfft . v ! 3a2 52 15a4 , 3aEx
dt~~ 8~_ 256
3<1+i)
sin 38.
(15.43)
J
Выражения (15.42) и (15.43) свидетельствуют о влиянии внешнего возбуждения на колебательную систему, которое мы обнаруживаем при рассмотрении второго приближения. Так, согласно (15.42) в выражении для х, кроме обертонов собственной частоты, появились также и гармоники с частотой внешней силы. При помощи уравнений (15.43) мы можем обнаружить резонансные зоны и построить резонансные кривые.
Приравнивая правые части уравнений (15.43) нулю, получаем с точностью до величин третьего порядка малости следующие зависимости, определяющие стационарные значения амплитуды а и фазы колебаний 9:
— ое (а) а — cos 38 = 0, j
• (a) — sin 38 = 0.
(15.44)
Здесь введены обозначения:
ое (а) = S —-|-о я2,
2 / \ л I 3a2 S2 15а4 а>в(а) = 1 +
(15.45)
194
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
Исключая из зависимостей (15.44) фазу ft, находим соотношение между амплитудой и частотой возмущающей силы:
Г “>!(«) - J ] 2 + 8е (й):
9 агЕ\ 1026 ’
ИЛИ
= 3j/ ш2е(а)±уГ
9a2bf
1026
¦К (а),
(15.46)
(15.47)
при помощи которого можно построить резонансную кривую.
Приведем теперь пример, для которого уже в первом приближении можно обнаружить дробный резонанс.
Рассмотрим линейный колебательный контур с регенерацией при помощи электронной лампы (рис. 82).
Как известно, на этом примере Мандельштамом и Папалекси [29] было изучено явление резонанса n-го рода, причем решение получаемого уравнения находилось для установившегося режима методом Пуанкаре, а для исследования процесса установления колебаний применялся метод Ван-дер-Поля.
Для указанной колебательной системы дифференциальное уравнение, описывающее движение, имеет вид
гd2i , sin di
где
ia = /o(P8)
(15.48)
(15.49)
есть уравнение характеристики лампы, зависящее от управляющего напряжения.
После ряда преобразований уравнение (15.48) может быть сведено к виду*)
где обозначено:
. dx
F (x)
dl
X,
fi (x) - 28-Ж,
dx
L0 V0 ’ j
nR . u>2— л2ю?
mZ ’ * ЛЙ
(15.50)
(15.51)
(15.52)
I =^ =
a /о
/о {Vs)
dl
J
*) Cm. [29], т. II, стр. 21.
§ 15]
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА ВИБРАТОР
195
Остановимся на исследовании резонансного случая. Для того чтобы можно было применить для построения приближенного решения формулы § 14, необходимо в уравнении (15.50) сделать замену переменных:
Е
х = у + sin nt, (15.53)
после чего получаем следующее уравнение (Ру dt2
-+?/ = ?/[
у-
Е . dy sinwi,
En
con nt
]•
(15.54)
1 — пг dt 1 1 — п'г'
Допустим, что регенерация в контуре осуществляется при помощи электронной лампы с характеристикой:
ia = a -j- Ъх + сх2 — dx3, (15.55)
где V0 = 12е, /0 = 142 ма, а, Ъ, с, d — постоянные. Тогда для правой части (15.50) получаем выражение
fQх’ Tt) = (к + 2х + ^ Tt+ (Шб
в котором приняты обозначения:
? = т|т’ А=Ао + 2»|, р = 0,016,
» = 0,013, Y= -2, к0 = -0,05 (а = 0,95, Ъ = 3,35, с = 2,25, d = 1,5).
/ doc
Подставляя значение fix, \ (15.56) в уравнение (15.54), находим для право л части рассматриваемого уравнения следующее выражение:
Еп
dx\
dx
(15.56)
(15.57)
'[
У -
Е . dy
-----sinni
1 — П
dt 1 — п-
cos nt
]-
Г 2Е
= [ к + 2у + sin nt 4- Y
У
2yE
. - sin nt +
1------71
+
E2
(1 — rc2)2
sin“ nt
dy
dt 1 5
En Л
cos nt J +
E
¦om\y + T=**mnt)- (15,38)
Построим теперь решение уравнения (15.54) в первом приближении для случая п = 2, т. е. для случая, когда в колебательной системе может возникнуть резонанс деления на два.
