Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
“=^-f <Р = [^-f+32Y] ?+So+®«[?.(-^-f ¦-г*2у)<Р-Но] ,
230
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл, III
из которой с точностью до величин второго порядка малости включительно получаем:
yt — So со _ f Wt—Zo Г V Р , .2.. 1 yt — , t
7 + -TJ о
-ги
— + е2т
Полагая здесь:
1 + ?2Y ------
V
<р — _Q 52.
О) • ТО Р V ’
имеем:
> = Qp*+?o-8M {2р* + ?о>
р 1 ® 7?о|Т
(18.47)
(18.48)
(18.49)
Итак, в нерезонансном случае получаем следующие выражения второго приближения для вынужденных релаксационных колебаний:
x = z(y),
<Р= 2p* + ?o + j“ 2 77^7^-з1п[га(Йрг+%) + ^+^] +
пфО 2( я +
дч
пфО
C—f)
sin [га (Qpt + ср0) — vf + 9-J + еА0 sin vf, (18.50)
где согласно (18.48) с принятой нами степенью точности
2 =«,- У
(18.51)
тц^О
Из полученных формул второго приближения нетрудно исключить
Р m v Р
вспомогательную величину — отношение - - . Гак как разность — - ~
первого порядка малости, то формулы (18.50) верны с точностью до величин второго, а формула (18.51) до величин третьего порядка малости. С такой же степенью точности можем написать:
X =z(<p),
<Р=^* + ?о+2 2^+^sin^(2pi + ^+vi + ^}'
пф О
вАп<»
Qp = o)
2 2 (г>ш ~\) S^n (П + ?о) “ + ^«} + s^0 S in V2,
п=/=0
S^A\ Г пт пт Л
8 L П0) — v^ww-fvj
(18.52)
Найденное решение соответствует асинхронному режиму колебаний. Здесь колебания будут квазипериодическими с двумя основными частотами v и Q .
Изменение фазового угла <р представляется здесь как вращение с постоянной угловой скоростью, равной Йр, на которое налагаются колебания с малой амплитудой, с частотами ч, raQp —v, raSp)-| v.
§J18] (ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА РЕЛАКСАЦИОННУЮ СИСТЕМУ 231
Перейдем теперь к построению второго приближения в резонансном случае.
Для исследования резонансного случая следует взять отноше-
в качестве уравнения второго приближения получим уравнение, отличающееся от (18.25) на члены второго порядка малости. С помощью этого уравнения мы можем уточнить положение и ширину резонансной зоны, уточнить значение измененной собственной частоты асинхронных колебаний и т. д.
Не останавливаясь на этом, рассмотрим случай, когда отноше-
Для раскрытия операции усреднения в уравнении второго приближения (18.43) заметим, что согласно (18.42) имеем:
подставляя значение (18.53) в правую часть уравнения (18.43), после ряда выкладок находим:
Полученное уравнение (18.54) отличается от уравнения (18.45) для нерезонансного случая наличием слагаемого
Так же как и в случае первого приближения, нетрудно видеть, что резонансная зона определяется неравенством
ние — равным целому или половине целого числа. Если положим — = т, то
ние — является половиной целого числа: Я
р 2т + 1
J- г~
2 Zj 2 , 2m + 1
пфО -----2—
(18.53)
пф О
п
2
где обозначено
(18.55)
в' 2rnj1^ Sm cos (25 - фJ.
2 2т 1 ' 4 т
(18.56)
232 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ [Гл. III
или, вводя измененную собственную частоту Q с той же степенью точности, неравенством
_2 2то + 1 v 2т + 1 _2 + 1 ^ //)0 ^71
—4—<Q~p-----------2~ < * —4— т'
Итак, рассматривая первое приближение, мы нашли резонансные зоны только для v, лежащих в окрестности пил, причем ширина их оказалась пропорциональной первой степени з; во втором приближении обнаруживаются дополнительные резонансные зоны для v, лежащих в окре-2т + 1
стности —j— со, и ширина этих «вторичных» зон пропорциональна квадрату г.
Анализ высших приближений указал бы также на наличие резонансных зон для v я» у со, <7 = 3, 4, ... с шириной порядка г9.
§ 19. Воздействие «периодических» сил на нелинейные системы с медленно меняющимися параметрами
Перейдем теперь к рассмотрению воздействия внешних «периодических» сил на нелинейные колебательные системы с медленно меняющимися параметрами, причем будем предполагать, что «частоты» внешних сил в свою очередь также медленно изменяются со временем (медленно в смысле, указанном нами в § 8).
Итак, рассмотрим следующее нелинейное дифференциальное уравнение с медленно меняющимися коэффициентами:
?[mW§]+iW* = .F(\.e,*,§), (М-1>
в котором, как и везде, а — малый положительный параметр, x=st —
f 'N
«медленное» время, Fix, 0, х, ) — функция периодическая по 0 с пе-
риодом 2тс, которая может быть представлена в виде
п——N
причем коэффициенты Fn(^x, х, ~ j этой конечной суммы в свою очередь являются некоторыми полиномами х, ^ . Коэффициенты этих полиномов зависят от т. Будем предполагать, кроме того, что ^ = v ('с)>
т. е. мгновенная частота внешней периодической силы тоже медленно изменяется со временем. Для возможности применения асимптотического метода к построению приближенных решений уравнения (19.1) предположим, как и в § 8, что коэффициенты уравнения (19.1) т(х), &(т),
а также Fn ^ т, х, и v(x) имеют достаточное число производных по '
для всех конечных значений т и, кроме того, для любых и на интервале 0< т;<Lm(i:) и к (т) строго положительны.
§-49] ВОЗДЕЙСТВИЕ «ПЕРИОДИЧЕСКИХ» СИЛ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 233
При этих предположениях построим приближенные решения для уравнения (19.1) в самом общем виде, пригодные для исследования как резонансной зоны, так и подходов к ней из нерезонансной зоны, причем для случая любого демультипликационного резонанса.
