Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Явное выражение для еи1(-с, а, 0, 0-|-&) будет:
2 л:
а, 0, е4-») = Д- 2) [cosft(0-f Ь) ^ /0(а, ф)cosпфс?ф4-
n^ti О
2 тс
+ sin п (0 4- &) ^ /0 (а, ф) bin яф с?ф j . (19.24)
о
причем оно не зависит от медленного времени т л совпадает со втирым слагаемым в правой части (15.4).
Выражений для A2(t, а, в) и B2(-z, a, ft) мы здесь находить не будем;
заметим только, что для их определения, после того как мы нашли явное
выражение для иг (-с, а, 0, 0 + 8-), проще вс«го опять воспользоваться уравнениями гармонического баланса, однаы» все выкладки вести уже с точностью до величин второго порядка малости включительно.
В качестве второго частного случая рассмотрим весьма распространенное в технике уравнение Матье в случае, если частота модуляции медленно изменяется со временем. Имеем уравнение
;-ш2 (1 — h cos 0) х = 0, (19.25)
где = v (t), х = st, о) и h — постоянные, причем h <С 1. Обозначая h = shx, можем уравнение (19.25) представить в виде
-f а)2ж = го)2/г1 х cos 0. (19.26)
Как указывалось выше, для уравнения (19.25) уже в первом приближении можно рассматривать демультипликационный резонанс. Поэтому
119] ВОЗДЕЙСТВИЕ «ПЕРИОДИЧЕСКИХ* СИЛ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 239
достроим асимптотическое решение в первом приближении для случая р — I, q — 2, воспользовавшись, как и в предыдущем случае, уравнениями гармонического баланса.
Итак, решение уравнения (19.25) ищем в виде
; = acos(^y0 + &),
где а и & должны быть определены из системы
da
dt
d&
dt
= Yv(T)+eSi(T> а> a)-
(19.27)
(19.28)
Определим Ах(ъ, а, ft) и В^т, а, &). Для этого, подставляя (19.27) с учетом соотношений (19.28) в левую часть уравнения (1У.26), имеем с точностью до величин первого порядка малости:
{$+Л};с=асо^1вх^ = е [(w-Tv^))-^-2awi4 cos(i-0 + &)-
+ sin(i-fl + &). (19.29)
Правую часть уравнения (19.26) можем представить в виде:
{еа)2/г,а: cos 0} л = s-„— cos 2Ьа cos ( 4- 0 -f & ^ +
L 1 х—а cos f ^ в 2 \2 1 J
. sco2Aj .
sin 2&а sin ^ y 9 -f & ) + cos 3^-|-0 + ^ у c°s 2& -f
оеш2*! s^ з ^ 1.0 ^ gin 2D. (19.30)
Приравнивая коэффициенты при первой гармонике в правых частях (19.29) и (19.30), получаем систему ураввений:
^о) — y v (ъ) ) ^ 2ашВ1 = cos 2&,
Т v ('•)) а ^§Г + 2лА' = _ sin 2&> из которой находим:
А(т> а. &)= —-^rsin2&>
(“¦ 2
(19.31)
В1(х, а, Ь) =
2-v (т)
Л, О)2 2-V (т)
COS &.
(19.32)
И, следовательно, уравнениями первого приближения, определяющими а и в рассматриваемом случае будут:
240
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
ГГл. XXX
Остановимся теперь на применении полученных формул к исследованию колебательных процессов в конкретных системах с медленно меняющимися параметрами, в частности, рассмотрим явления, происходящие в колебательной системе при прохождении через резонанс. Для того, чтобы легче было сопоставить полученные результаты с изученным стационарным режимом, рассмотрим, как и в § 15, нелинейный вибратор с жесткой характеристикой нелинейной восстанавливающей силы (F — сх 4- dx3, с? > 0), находящийся под воздействием внешней синусоидальной силы с постоянной амплитудой и медленно изменяющейся частотой. Пусть колебания этого вибратора описываются следующим уравнением:
тЛ-Ъ+ схdx3 == Еsinft, (19.34)
где х — координата, определяющая положение системы, t — время, т — масса, b — коэффициент сопротивления, F = сх 4- dx3 — нелинейная восстанавливающая упругая сила, Е — амплитуда возмущающей силы, 0 — некоторая функция времени. Введем, как и выше, для упрощения выкладок безразмерные хг и tx по формулам:
= (19-35)
тогда уравнение (19.34) запишется в виде
4|L + 3"^‘ + :ri + :r';=jEisil19’ (19.36)
где введены обозначения:
У тс с У с
Предположим, что трепие, амплитуда внешней силы, а также член, характеризующий нелинейность, достаточно малы по сравнению с собственной частотой системы, т. е. система близка к линейной консервативной, и положим
<19-37)
Тогда согласно (15.5) находим:
' / \ ^ 7 / \ л 1 За2
°е (®) ' ~2 ’ е (®) 1 “Ь g »
после чего, воспользовавшись (19.14) и (19.23), в первом приближении
получим:
хх = a cos (0 -j- &), где а и & должны быть определены из системы уравнений:
da 5а Е, й 1
—г-=-----л----1----VTCOSff,
dt 2 1 + v (и) „
л . , , , з.* , I <19-38>
dt — 1 v(^)+ 8 t a[l + v(i)lSm ’ J
при этом v (т) — — некоторая функция времени, характеризующая закон
изменения со временем мгновенной частоты внешней силы.
5 19] ВОЗДЕЙСТВИЕ «ПЕРИОДИЧЕСКИХ» СИЛ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 241
В § 15 подробно исследован стационарный режим колебательных систем, описываемых уравнением типа (19.34); построены резонансные кривые; исследована устойчивость различных ветвей этих кривых; рассмотрены гистерезисные явления, возникающие в связи с нелинейностью.
Здесь мы рассмотрим поведение кривых зависимости амплитуды колебания от частоты внешней силы при медленном изменении частоты со временем, причем допустим, что в процессе своего изменения частота внешней силы проходит через резонансные значения *). Для того чтобы построить резонансные кривые при прохождении через резонанс, необходимо систему уравнений первого приближения (19.38) численно проинтегрировать при помощи какого-либо метода численного интегрирования. Для исследуемых уравнений (19.38) удобным является метод численного интегрирования, разработанный А. Н. Крыловым. Заметим, что нет необходимости численно интегрировать уравнения (19.38) для всего промежутка времени, в течение которого изменяется частота внешней силы. Для получения полной картины процесса, происходящего при прохождении через резонанс, достаточно проинтегрировать систему (19.38), начиная от того момента времени, когда частота внешней силы достаточно близка к собственной частоте системы, но еще не находится непосредственно в резонансной зоне.
