Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
По определению резонанса можем считать, что резонанс как раз и характеризуется тем фактом, что малая возмущающая сила может приводить к значительному, часто весьма большохму изменению амплитуды колебаний. Это имеет место тогда, когда работа, совершаемая внешней силой за цикл колебания, не уничтожается, так как в противном случае внешняя сила вызывала бы лишь малые дрожания.
Выражение возмущающей силы е/ (^ vi, х, ^ в режиме гармониче-
(d со \
т. е. при х = a cos (mt -+- 9), — — am sin (mt + 9) )
содержит, как указывалось выше, различные гармоники с частотами ± т ± тл.
Составим выражение виртуальной работы, которую совершала бы эта возмущающая сила в режиме гармонических колебаний на виртуальных перемещениях
8ж0 = 8а cos (со/ 4 ср) — 89а sin (mt + 9), (13.4)
соответствующих виртуальному приращению амплитуды и фазы колебания.
Для подсчета удобно выражение виртуальной работы в режиме гармонических колебаний
е/(^> ®0. о (13-5)
представить с помощью ряда Фурье в виде суммы гармонических членов с частотами
К т = ™ + 1И<1>.
Во нри усреднении этой суммы за достаточно большой промежуток времени в ней останутся заметными лишь те члены, у которых частоты Anm будут соответственно малыми.
Таким образом, в первом приближении проявляются только такие резонансы, для которых частоты в выражении виртуальной работы (13.5) достаточно близки к нулю. Разумеется, интенсивность резонанса будет тем слабее, чем меньше будет соответствующая амплитуда в выражении (13.5).
После этих предварительных замечаний перейдем к оформлению методов фактического построения приближенных решений.
Начнем рассмотрение колебательной системы, описываемой уравнением (13.1), сначала для нерезонансного случая, как наиболее простого, т. е. будем предполагать, что ни одна из комбинационных частот (т 4- /поо), входящих в рассматриваемое приближение, не равна (й не близка) частоте ю:
т /им (о. (13.6)
Здесь следует указать на известный в теории чисел факт. Если иррационально, то всегда можно подобрать такие целые п пт.
158
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
|Га. I1J
что выражение
rev -f- (тп — 1) оо
будет сколь угодно близким к нулю.
Поэтому, если в выражении рассматриваемого приближенного решения будут присутствовать гармоники со всеми линейными комбинациями то придется наложить условие, чтобы отноше-
ние аппроксимировалось рациональным числом не слишком быстро
и не вызвало расходимости рассматриваемого выражения. (См. по этомл поводу стр. 167.)
Приступая к построению приближенного решения дифференциального уравнения (13.1), будем исходить, как и в случае возмущения, не содержащего явно времени, из тех же самых интуитивных соображений.
При полном отсутствии возмущающих сил (® = 0) колебания, очевидно, будут чисто гармонические х = a cos ф с постоянной амплитудой
и равномерно вращающимся фазовым углом ~^г= 0, — w.
Влияние возмущающей силы выражается в том, что, во-первых, в колебаниях могут появиться как обертон, так и гармоники комбинационных частот различного порядка малости, и поэтому решение надо искать в виде
где функции и1(а, ф, v?), и2(а, ф, v?), ... периодические по обеим угловым переменным ф и с периодом 2тг.
Во-вторых, и амплитуда, и скорость вращения фазы уже не могут быть постоянными, а должны определяться, как и в предыдущей главе, дифференциальными уравнениями:
Правые части этих уравнений должны зависеть только от амплитуды, так как при отсутствии резонанса фаза собственных колебаний не связана с фазой внешних сил, и поэтому последняя не оказывает влияния ни на амплитуду колебания, ни на полную фазу колебания. Разумеется, в резонансном случае нам надо будет как в выражение для мгновенной частоты, так и в выражение для мгновенной амплитуды ввести зависимость от сдвига фаз.
Итак, задача построения приближенных решений уравнения (13.1) в нерозонансном случае сводится к задаче, аналогичной рассмотренной в нервом параграфе: требуется найти функции
таким образом, чтобы выражение (13.7), в которое вместо а и ф будут подставлены функции времени, определенные уравнениями (13.8), оказалось решением нашего исходного уравнения (13.1).
Как и в первом параграфе, после решения этой задачи, т. е. после того, как будут найдены явные выражения для коэффициентов разложений, стоящих в правых частях (13.7), (13.8), вопрос об интегриро-
х = a cos ф 4- еи1 (а, ф, м2) 4- s2u2(a, ф, v«) 4- - - -, (13.7)
(13.8)
иг(а, ф, 4t), и2(а, ф, ^t), ...f Аг (а), А2(а)..............Вх (а), В2(а), ...
S 13]
«НЕРЕЗОНАНСНЫЙ* СЛУЧАЙ
159
вании уравнения (13.1) сводится к более простому вопросу интегрирования уравнений (13.8). Следует заметить, что в нерезонансном случае для определения а и ф мы получаем уравнения с разделяющимися переменными; в резонансных случаях, как увидим ниже, в этих уравнениях переменные в общем случае уже не будут разделяться.
Прежде чем приступить к построению функций и1(а, ф, vi),
и2(а, ф, vi), ..., Аг(а), А2(а), ..., Bx(a), В2 (а).....необходимо
для однозначности определения коэффициентов разложений (13.8) ввести, как и выше, некоторые дополнительные условия.
