Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
«1» Т12. nS=—00
(13.27)
где
2тс 2тс
С
~ «1«2 ... П у = ---------^ ^
i2n)N J J
О о
2 тс
(2я)
5 /(?х, ^)Г|,пй+”йь"+п<У^,^! ... (13.28)
о
Приведенная комплексно-экспоненциальная форма кратного ряда Фурье весьма удобна для расчетов. Следует, однако, подчеркнуть, что она совершенно эквивалентна обычной форме разложения по синусам и косинусам, так что условия сходимости будут те же самые.
Приступим теперь к определению Аг{а), Вг (а) и и1(а, ф, vi) из уравнения (13.13). Для этого разложим /0(а, ф, v?) в двойной ряд Фурье:
/о К Ф, v«) = 22 С (а) в*<»**™Ф>, (13.29)
пт '
где
2тс 2тс
/™» (а) = р ^ aC0S!b — «оо sin ф) с?ф.
о о
Представим н1(а, ф, vi) в виде ряда Фурье:
иг (а, ф, Mt) = V 2 /пт (а) е*<™+тф J (13.30)
§ 13] «НЕРЕЗОНАНСНЫЙ» СЛУЧАЙ 163
Подставляя в уравнение (13.13) значение /0(а, ф, vi) (13.29) и и1(а, ф, vi) (13.30), имеем:
2 2 {ад2 ~ (т + mw)2} fnm (а) е<(пч(+тф) _
п т
= 2шВг cos ф + 2шА1 sin ф + 2 И fnm ia) ei(nvl+,n'W. (13.31)
пт ' '
Из (13.31) необходимо определить fnm(a), Аг(а) и В1(а) так,
чтобы их (а, ф, vi) не содержало резонансных членов. Последнее усло-
вие будет выполнено, если А1(а) и Bx(a) определить из соотношения:
2ашВ1 cos ф + 2(оАг sin ф = — 2 S fnm («) е1<пч(+тф). (13.32)
п т [to2—(nv4-mto)2=0]
Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в выражении (13.31), получим
/ (п) = !™{а)
7nm V ) о)2 — (nv + ma))2
для всех п и га, удовлетворяющих неравенству
ш2 — (wv -f raw)2 ф О
или, ввиду того, что мы рассматриваем нерезонансный случай, неравенству
п2 -j- (га2 — I)2 Ф 0 (т. е. п ф 0, т Ф ± 1).
Подставляя найденное значение fnm (а) в (13.30) и делая для упрощения замену vi = 0, получаем для и^а, ф, vi) следующее выражение:
1 vi vi е»("в+тф)
MlK Ф> 6)=4^2- Zj Zj о>2—(т/ + та>)2 Х
п т [п2+(т2—1)2^0]
2тс 2тс
X
б о
или, переходя к тригонометрическим функциям:
Ма> Ф> 9)= 2^ 2 {
cos (пб + тф)
2— (nv -j- /ПО))2 п, т
|[па+(та—1)2=^0]
2тс 2те
хИ/° (а, ф, 9) cos (и9 + гаф) с?9 с?ф +
о о
2 те 2тс
sin (и0+ тоф)
(о2 — тю)2
0 О
^ /о(а> Ф> Q)sin (п9-(-тф)й9с?ф| . (13.34)
164
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в (13.32), находим выражения для Аг(а) и В1(а)*);
2 к 2тс
А (а) =
В\(а) ¦¦
^7 ^ ^/°(а> Ф> 9) sin tydbdty, j
О *0 [
2тс 2л; (
^ $ S /о(а- Ф. 9) cos ф d% йф. j
(13.35)
о о
После определения м1(а, ф, 9), Ax(a) и В1(а) мы в соответствии с (13.15) имеем явное выражение для /1(а, ф, 9). Разлагая его в ряд Фурье и воспользовавшись уравнением (13.14), а также, учитывая условие отсутствия резонансных членов в выражении для и2(а, ф, 6), аналогично найдем ц2(а, ф,9), А2(а), В2(а), необходимые для построения второго приближения. После ряда выкладок имеем:
1 VI VI е'М-НН)
и2 (а, ф, 9) = 2j Zj m2 _ X
n m
(rcv ¦+¦ mco)2
[n2-j (m2—1)2=?0]
2тс 2те
ХИ /i(a> Ф> 6)е_{(,|в+т'1')с?9с?ф, (13.36)
о о
лл*)-
2те 2те
“ 4^ ^ S ('9’ а C°S Ф’ ~~ Sln ^ +
о о
(13.37)
+ /*'(®> a cos ф, — аш sin ф) ^ Ах cos ф —
— аЯ^тф + ^ш этфсШс^ф,
2те 2тс
-4^-J [ {/i(0. асовф.-ашвт ф)их +
0 о
+ f 'x' (9, a cos ф, — си» sin ф) ^ -4Х cos ф —
— aBr sin ф °)+ v^)} созфс?9с?ф.
Продолжая изложенный процесс последовательного определения интересующих нас выражений, можно построить решение уравнения (13.1) в любом приближении.
Заметим, что, исходя из рассуждений, аналогичных приведенным в главе I, здесь также не имеет смысла при построении и-го приближения удерживать в правой части ряда (13.7) член порядка малости еп.
*) Правая часть выражения] (13.32), как легко заметить, содержит только первую гармонику угла ф.
5 13]
«НЕРЕЗОНАНСНЫЙ» СЛУЧАЙ
165
Заканчивая рассмотрение нерезонансног.о случая, заметим, что согласно формулам (13.35) в уравнения первого приближения вой-
Поэтому для получения уравнений первого приближения мы можем усреднить возмущающую силу по явно содержащемуся в ней времени, после чего воспользоваться формулами первого параграфа (1.27).
Так как в рассматриваемом нерезонансном случае уравнения первого приближения (а также и высших приближений) имеют ту же форму, что и уравнения первого приближения для случая (1.1) (т. е. для случая, когда внешние возмущающие силы не зависят явно от времени), которые уже были нами подробно исследованы, то мы не будем останавливаться здесь на их изучении.
Остановимся только на рассмотрении выражения для х во втором приближении:
где и1(а, ф, 0) определяется формулой (13.33) или (13.34).
В нерезонансном случае согласно формулам (13.39) и (13.34) влияние внешнего периодического воздействия сказывается только во втором приближении. Так, например, из формулы (13.39) непосредственно следует, что только во втором приближении в решении могут появиться различные комбинационные гармоники, компоненты с частотами вынуждающей силы различной кратности и т. д. Амплитуды всех этих дополнительных гармоник будут порядка малости е.
Рассмотрим еще формулу (13.39) в случае стационарных колебаний:
В этом случае колеблющаяся величина х состоит из собственного колебания с частотой ш(а) (представляемого членом a cos [w (a) 14-&]), вынужденных колебаний с частотами т (п = 1, 2, 3, ...) и комбинационных колебаний с частотами т ± тю (п, т= 1, 2, 3, ...). При этом интенсивность комбинационного колебания с частотой т ± тш усиливается по мере приближения к соответствующему резонансу, т. е. по мере уменьшения соответствующего делителя
