Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где Ах(а, &), А2 (а, &), . . В1(а, &), Вг(а, &),... — периодические функ-
ции угловой переменной 8- с периодом 2тт.
гг da йф
Поскольку в правые части выражении для и входит не полная фаза ф, а фазовый угол &, целесообразно исключить ф из выражения (14.3) и уравнений (14.4).
Тогда, полагая ф = у^-|-9-, получим вместо (14.3) следующее выражение:
в котором функции времени а и & должны удовлетворять уравнениям:
так, чтобы выражение (14.5), в котором вместо а и 8- подставлены решения уравнений (14.6), удовлетворяло основному рассматриваемому уравнению (14.2).
Дифференцируя (14.5), находим:
х = a cos
(
^ -f sMjl ( а, &, у t ^ + г2и2 (^а> ~ О + • • • > (14.5)
% = гАх(а, ») + вМ8 (я, »)+•..,
= s-®x (а> в) -f- &2В% (а, &)-(-...
(14.6)
Таким образом, нам нужно определить функции
= *г{‘жА^жв-
dt2
172 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ 1гл. III
Далее, на основании (14.6) имеем:
дАхЧ^ +S3...,
№ _?2 1ЭВ1А авх л .3
da db 9 . _ „
^г^ = ?МА + ?3---
Подставляя (14.5) и (14.8) в левую часть уравнения (14.2), учитывая при этом (14.6), (14.9) и располагая результаты по степеням параметра $, получим:
(14.9)
d?x dt2
+ (f v) x — s | — 2v sin ф — 2a у v cos ф +
+ ^? + (fv) Hi}
— 2a ^ чВ2 J cos ф + [ — 2A1B1 — 2 у v^2 —
— a
дЛ1A
da Al
dB1
d%
¦ a —Вг J sin ф + 2
32it.
1*4-3i2 ^
да dt 1 + 2
U<
}+¦
(14.10)
Раскладывая правую часть уравнения (14.2) по степеням малого параметра, находим:
s |/ (vt, х, — Ах | = е | — Да cos ф +
+ f(^4t, асоэф, — а у v sin ф +
+ $2j/i(^, асоэф, — а у vsinф>) их+
+ fx'^t, a cos ф, — а^этф^) (^A1cos^ — аБ1зтф +
+?r)-AMi}+e3--- (14Л1>
Приравнивая в правых частях (14.10) и (14.11) коэффициенты при одинаковых степенях е, получим для определения искомых функций следующую систему уравнений:
9%
dt2
qj Ul = ^a’ ^ + 2 f ^Alsin^ +
+ 2a у v-®i cos ф — Да cos ф,
(14.12)
32k2
. dBx . 3?t D
v^2 + a Ai + a 1ST Bi +
:2 — A (a, vf, ф)+ [2-|-24^] 8Шф+[2а|уВ2-^Л1-^В1 + аВ;] созф, (14.13)
§ 14} «РЕЗОНАНСНЫЕ» СЛУЧАИ 173
где введены обозначения:
/п (^а, vi, ф^ = /^vi, a cos ф, — а укзтф^ , (14.14)
/х (a, ^,ф) = /*(%<, асоэф, — а sin ф^ иг +
+ /x'(^vZ, а совф, — а vsin ф ^ (^Лх cos ф — аВх sin ф + ^ ^ —
(14.15)
Как и в ранее изложенных случаях, fk(a, vi, ф) являются периодическими функциями с периодом 2 тс по обеим угловым переменным vi, ф [Д(а, &) и В{(а, &) — периодические функции по отношению к 9- с периодом 2 тс].
Найдем из уравнения (14.12) их (^а, vi, у vi + 9-^ , Ах (а, 9-) и Вх (а, &),
соблюдая условие отсутствия в выражении для их (^а, vi,yvi-|-9^ членов, знаменатели которых могут обратиться в нуль.
Представляя функции их(^а, vi, y-vi-|-9^ и f0(^a, vi, y-vi + 9^ в виде конечных сумм Фурье, имеем:
/ i \n4t\m[- vi+&]}
их уа, vi, -E-vt + bj = ^ 2 u™(a) e Q • (14.16)
n m
/ Г, ж-, i Invi+m (-vt+a)!
/.(fl.N/, |-N< + ») = 2 2C(e)e 9 , (14.17)
где
2rc 2tc
Am(«) = ^ 5 ^°(a’ 6’ Ф)е_иПв+тФ}^9^Ф,
0 0
причем следует заметить, что фактически в случае, если правая часть
(fix \ ^/j*
ч1, х, является полиномом по отношению к х,
и содержит конечное число гармоник по переменной vi, то разложения
(14.17) могут быть найдены при помощи элементарных тригонометрических преобразований.
Подставим правые части выражений (14.16) и (14.17) в уравнение
(14.12). В результате получим:
^ х-l i lnvf+m (?v*+&)} , ч
S e + 2 ~ vAx sin — vZ + 0-^ +
n m
+ 2а у чВх cos vi -j- 9^ — Да cos vi + 9 ^}, (14.18)
174 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИП 1гл. III
откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, находим:
/СО) , ч
и^(а)= 2 /пт(а) - (14.19)
( — v ) — ( пч + т — v )
V ? у v г У
для всех и, то, удовлетворяющих условию
или эквивалентному условию
Щ -\-(т ±1) р ф 0; получаем так же соотношение для определения А1(а, 9-) и В1 (а, Я):
2 sin vt + 8-^ + (^2 а у — A a) cos^ — vt + 9- ^ +
i jnvi+m (- Vf + •& ) f
+ 2 2 e ГМа) = 0- (14.20)
п m fne+(mj: l)p= 0]
Подставляя значение u?m(p) (14.19) в правую часть формулы
(14.16), находим:
г jnvt+m (- vi+fi) j
»^'М'и+“г)
Обратимся теперь к уравнению (14.20). Суммирование в нем, как указано, идет по всем целым п, т (положительным, отрицательным и нулевым), для которых
пд-\-(т ± \) р = 0. (14.22)
Поэтому в данной сумме имеются комплексные экспоненты вида
г Цп+пг - j vf +m& J i { (tig-j-mp) - t +m&)
e Q —e Q =
ijT-Vf+msj i jvf+») + (m ± 1)»J
= e q = e q =
= -j^cos(^Yyi "t* ® ^ ~F *s*n + ^} el(m 11}*•
Заметим, кроме того, что в силу (14.22) т ± 1 делится на q, так что мы можем записать этот сомножитель в виде да (— оо < а < со).
Приравнивая коэффициенты при cos + ^ и s*n в
(14.20), имеем:
2те 2тп
АЛа> &) = 4^% 2 eiesa ^ 5/о(а> °’ ^ sin ф с?6с?ф,
5i(a’ &)= 2 р*
о о
Д q
2п 2-к
4ге 2арч
2 eiQab ^ ^ /о (а, 0, ф) е_*«аГ cos ф ЙО с?ф
о о
(14.23)
§ 14]
«РЕЗОНАНСНЫЕ» СЛУЧАИ
175
В формулах (14.23) суммирование производится для всех значений а, как положительных, так и отрицательных, для которых интегралы, стоящие под знаком суммы, отличны от нуля. Эти интегралы будут отличны от нуля для тех значений а, для которых суммарный показатель соответствующей экспоненты (полученной после разложения в ряд Фурье подынтегрального выражения) равен нулю. Таким образом, если правая часть уравнения (13.1) является полиномом относительно х,
