Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
cosvZ и sinvZ, то а будет принимать конечное число целых значений.
Итак, в первом приближении для резонансного случая решение уравнения (13.1) будет:
х = a cos ( -у vZ -f 9- J , где а и & должны быть определены из системы уравнений
2тс 2тс
da____ s q
dt
О О
271: 2п
4Лр 2^°®$ 5 /о (а. 6> ФЭв-^'вшфйбйф,
sq
dt 2 рч 4тс 2ачр
giqab И /0(а, 0, ф) е~'iqa' cos ф^0 йф.
(14.24)
о и
Так как в резонансном случае предполагается, что расстройка еД является величиной первого порядка малости, можем с той же степенью точности систему уравнений (14.24) представить в виде
2я 2тс Л
da sq
dt~ ~~
V (14.25)
ч
4*»vn 2 е<вв* ia’ 0> Ф) e~i9'S' sin Ф d6 d$>
a 0 0
2tc 27c
2 ^ ^ foia> 9, ф) e—i«“a'cos ф Й0 йф.
0 0
Зная выражения для vZ, yvZ-|-9^ ,А1(а, &) и В1(а, 9), можно
в соответствии с (14.15) найти явное выражение для fx( a, vZ, yvZ + 9^ ,
после чего из уравнения (14.13) получим выражения для А2(а, 9) и В2 (а, &), необходимые для построения второго приближения:
М*. »> = + + -
2я. 2тп
~ 4^чр 2 е19°Ь 6’ ^ Sin Ф
о о
о о
(14.26)
Перейдем теперь к рассмотрению самого общего случая.
Пусть требуется исследовать поведение системы как вблизи резонанса, так и для подходов к резонансной области из нерезонансной зоны. Для этого необходимо построить такие приближенные решения, которые
176
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
1гл. III
давали бы возможность изучить поведение системы для достаточно большого интервала частот и из которых как частные случаи можно было бы получить выведенные выше формулы как для резонансного случая, так и для нерезонансного.
Здесь мы уже не можем считать, что расстройка мала, и поэтому приближенное решение должны искать непосредственно для уравнения
(13.1); кроме того, в выражения для мгновенной амплитуды и частоты надо ввести зависимость от угла сдвига фаз.
Таким образом, решение, как и выше, ищем в виде ряда
где а и & должны быть определены из следующей системы дифференциальных уравнений:
Здесь, как и всегда, и1(а, vt, ф), и2(а, vt, ф) обладают периодом 2% по отношению к обеим угловым переменным ф и vt, а А% (а, &) и Вг(а, &)(г = 1, 2,...) периодические, с периодом 2л, по отношению к угловой переменной 9-.
Для определения всех этих функций мы могли бы применить неоднократно использованный прием непосредственного дифференцирования разложений (14.27) и подстановки результата в основное уравнение с последующим приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях. Вместо этого воспользуемся здесь рассуждениями, аналогичными тем, которые были применены при изложении метода гармонического баланса.
Для получения первого приближения рассмотрим главную гармонику
На основании принципа гармонического баланса при подстановке
(14.29) в уравнение (13.1) с учетом системы уравнений (14.28) главные гармоники в левой и правой частях уравнения (13.1) должны быть равны.
Для получения второго приближения мы, естественно, при определении главной гармоники в левой части уравнения (13.1) должны
члены с ви1(а, vt, ф).
Таким образом, во втором приближении для главной гармоники левой части уравнения (13.1) сразу получаем:
х = a cos
+ + vt, ф) + ?2И2 (а, 4t, ф)+ .. ., (14.27)
% = ») + зМа(в,
~ft = w — 7 v + °Bi К &) + &2В2 (а, &)+¦••>
(14.28)
причем разность а>—~ v не обязательно мала.
(14.29)
учесть члены при г2, а в выражении
должны учесть
главн;
+d-tAi+d-wB'+2А& ]}sin Ф- (14- 3°)
§ 14] «РЕЗОНАНСНЫЕ» СЛУЧАИ 177
Подставляя в правую часть уравнения (13.1) х = a cos ф + sm1 (a, 4t, ф), получаем с точностью до величин второго порядка малости для главной гармоники следующее выражение:
главная гармоника {s/ х,
dt л
_ г {nvf+m(-vi+a')}
= е 2 №(а)е q Л +
п, т fng-HmiOp—Ol
+ .* 2 №we,|"'"+”(«v'+,)l =
n, m [ne+(m±l)p=0]
2те2 n
= s { cos ф 2^2 2 5 5 f°(a’ Ф) gos ф c?0 -f-
я 0 0
2тс 2те
-f sin е"в8 ^ Ф) e—^стЭ' sin ф <^0 ^4*^" ~b
и oo
2tc 2*rc
4- s2 | cos Ф 2 eiaqi ^ ^ /1 (a> 0> Ф) e—*«**' cos ф c?0 йф 4-» 0 0 275 27C
4- sin ф ^2 2 e”e9 ^ Ф) e-^09'sin ф c?0 йф|, (14.31)
о о
где введены обозначения:
/0 (а, 0, ф) = /(б, а cos ф, — асозтф), (14.32)
f1(a, 0, ф) = (0, асоэф, — аш sin ф) -(-/i' (0, асоэф, — аш sin ф) х
(14-33)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в выражениях (14.30) и (14.31), получаем в первом приближении:
_Р
q ’ J а»
2п 2п \
со—— v ) — 2ашВ1 = 2^ 2 е”в9 ^ 5 ^°^а’ ’4*) е—igo&' eos с?0 !
п п •
о о ч
2п 2п (
Гсо —-|-v^a^4-2m41= ~2^2 е^Ф \ \ ^(а> 0> ф) е-^'вщфе^ <Й>;
* о 0 О J
(14.34)
178 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ 1Гл. III
во втором приближении:
(—7 ’)ж-2"в-“Ч^-4>+жв^“в:} +
2те 2те
2^2 2 ei9l,a 5 Ф) e_i9°8, cos Ф ^Ф>
(»-7<)“ж + 2“^=-{“11'4.+“Жв.+
2те 2 тс
-f 2^4^! | ~ 2 ei9°a ^ ^ /i(a> Ф) е-^аУ sin фе?6е?ф. (14.35)
о о
Выражение для аи1(а, it, ф) определяем как вынужденные колебания, возбуждаемые в х действием высших гармоник внешней силы
sf(^4t, х, в режиме гармонических колебаний ^ж = асозф,
dx . Л
~dt — ~~aw sin ф ) :
i(nvf+m<f)
^(<2, Ф)= У imliCW’ (14.36)
ш2 — (nv + mw)2 п, т [пд+(т±1)рф0]
где
2тс 2п
Гпш(а) = ^[ ^ /о («, 9, ф)е-{(пв+тф)й0?гф. (14.37)
