Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
МЕТОД А. А. ДОРОДНИЦЫНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 149
Ддя наглядности применения этого метода приведем согласно А. А. До родницыну решение уравнения Ван-дер-Поля
нри больших значениях параметра з *).
dx
На фазовой плоскости (х, у), где у= —, это уравнение преобразуется к следующему виду:
Как известно, предельный цикл для уравнения (12.2) имеет вид, приведенный на рис. 77.
нии (12.3), чтобы нри аналитическом
продолжении решения в область III зто решение перешло в то, которое стремится к решению уравнения (12.4).
Для того чтобы можно было произвести такое сопряжение решений, вводят две «связующие» области II и IV, для которых строят асимптотические решения непосредственно уравнения (12.2), так как в зтих областях мы не можем воспользоваться «укороченными» уравнениями. Области I, II, III и IV перекрываются между собой, и поэтому мы можем найти решение для всего цикла с точностью до величин любого
порядка малости относительно -i- .
Приступим к построению асимптотических решений уравнения (12.2) для введенных областей (см. рис. 77). При этом заметим, что ввиду симметрии можно рассматривать только одну часть каждой из введенных областей.
Построим сначала решение для области I. Для зтого обозначим через аг и а2 значения х, при которых — = 0 (для предельного цикла
*) Заметим, что В. В. Казакевичем («О приближенном интегрировании уравнения Ван-дер-Поля», ДАН СССР, XL1X, 6, 1945) разработан интересный прием исследования уравнения (12.1).
(12.1)
(12.2)
— е (1 — х2) у + х = 0. (12.4)
Однако области I и III, в которых можно рассматривать вместо уравнения (12.2) соответственно уравнения (12.3) и (12.4), не соприкасаются между собой, и поэтому решения этих уравнений нельзя сопрячь, так как неизвестно, как выбрать постоянную интегрирования в уравне-
При больших значениях параметра s решение уравнения (12.2) в областях I и III стремится соответственно к решениям «укороченных» уравнений
= (12.3)
i.J
Рис. 77.
150 МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ [Гл. II
а1 = а2 = а); тогда область I определится следующими неравенствами:
— l-|-v<a:<a1 —v, у> 0, v > 0;
— a2 + v<a:<l —v, у <0, v > 0. j (12.5)
Как указывалось выше, решение достаточно искать только для пер-
вой части области (12.5). Решение ищем в виде ряда
ОО
У = * S s'27n(*)- (12.6)
п=0
Подставляя значение у (12.6) в уравнение (12.3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем систему уравнений, из которой находим последовательно все /п (х) (п — 0, 1, 2, . ..).
Так, для первых двух функций имеем:
/о (•*) = ? + *-у*3" (12.7)
(2д + мУ-Т~а) ] +
+ /зг* [ "»Ч! ««<* ,7j= ] • <12-8>
где через xt обозначен вещественный положительный корень уравнения
2
/0 (х) = 0, причем предполагается, что с > у , что и имеет место для предельного цикла. Функции /п (х) имеют особенности в окрестности точки х = хх, однако ряд (12.6) сохраняет асимптотический характер до значений х, удовлетворяющих условию
0(Xl-x) > •
В частности, ряд (12.6) является асимптотическим рядом при х= хх —О ПРИ этом У будет порядка единицы.
Найдем теперь асимптотическое решение для области II, являющейся окрестностью точек у = 0, ж = ах; у = 0, х= — а2. Для определенности будем рассматривать ту часть области II, для которой у — 0, х = ах.
Введем новую переменную z по формуле z = —еу и будем искать .т как функцию z. Уравнение (12.2) запишется следующим образом:
f=4i7^T(12-9>
Решение этого уравнения ищем в виде ряда
ОО
S Хп(2)^2П (12.10)
п=0
Подставляя значение х (12.10) в уравнение (12.9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим систему уравнений для определения функций у_п (z) (п = 0, 1, 2, ...). Для первых двух функций имеем:
Xi(z) = ^[z + ^ln(l-a-^Z)] , (12.11)
§ 12] МЕТОД А. А. ДОРОДНИЦЫНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 151
** <z) = {к -1К2+) +
In г1 г(д| —1)1
+ [g*j + 2«,»-2(«i-lK] "L ¦¦¦^ J +
ь 1 J 1—Z —-----
+ 2%^T,'"41-Z“J?i)}' <12-12)
Эти функции имеют особенности при z —> и ПРИ 2 —> — со. Однако
ряд (12.10) сохраняет асимптотический характер для всех z, удовлетворяющих условию
а также в случае z < 0 для всех z, удовлетворяющих условию
O(z) < 0(s2).
При этом асимптотическая сходимость ряда (12.10) имеет место при z = — е, т. е. у = 1.
Так как ряды (12.6), (12.10) асимптотически сходятся при одинаковых значениях х, при которых у —0(1), то можем их сопрячь. Для этого нужно определить постоянную ах по заданному значению постоянной с. Полагая в (12.6) и (12.10) у= 1, получаем следующие два уравнения с двумя неизвестными х* и аг:
СО ОО
1 = « 2 /п«и-2п. **= 2 (12.13)
n=Q п= 0
Из первого уравнения находим х*, после чего из второго уравнения находим аг, выраженное через с или через ог1.
' Перейдем теперь к определению решения для области III. Эта область определяется следующими интервалами:
fll-v>*>l+v, у <0, v>0; I
— a2 + v<x< —1—v, у>0, v > 0, J
и имеет очень существенное значение для релаксационных колебаний. Когда х попадает в область (12.14), то колебания системы сразу же с большой степенью точности переходят к установившимся автоколебаниям. Будем рассматривать ту часть области III, для которой у < 0. Произведя ряд выкладок, легко показать, что решение уравнения
