Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(12.2) в этой области может быть получено в виде ряда
ОО
2/= ^»(*)*-яп. (12-15)
п=0
где Рп (z) определяются, как и выше, из ряда рекуррентных уравнений и имеют вид
= ’ ••• (12Л6) Ряд (12.15) сохраняет асимптотический характер при условии
О (х— 1) > 0(е~21з), причем при подходе к границе сходимости у (12.15) будет иметь порядок е-1^.
1,52
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Егп. и
Перейдем к определению решения в области IV. Эта область определяется следующим образом:
Как показано выше, при подходе к границе области III у приближается к О (е—1/з). Поэтому естественно ввести замену переменных:
Решение этого уравнения ищем опять в виде асимптотического ряда
который подставляем в (12.19), и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем ряд уравнений для последовательного определения функций Qn (и) (п=0, 1, 2, ...). При этом натальные условия для Qn (и) должны определяться так, чтобы полученное решение было сопряжено с решением в области III.
После ряда выкладок находим:
Для сопряжения с решением у (12.15), определенным для области III, необходимо, чтобы величина s-2/3^ (и) была ограниченной при u = Q (sv).
Анализируя выражение для Qn(u), убеждаемся, что ряд (12.20) сохраняет асимптотический характер до значений и, ограниченных условием Q (и) < Q (е2/з), т. е. при значениях х, удовлетворяющих условию
О (х — 1) < О (1), и, таким образом, области, в которых пригодны решения (12.20) и (12.15), перекрываются.
Теперь нам осталось сопрячь решения для областей I и IV. Для этого мы должны сопрячь решение (12.6) с решением (12.20), учитывая в последнем замену переменных (12.18).
Заметим, что так как у > 0 при х= — 1, то постоянная с должна быть больше 2/з-
1 - v < а: < 1+ v, р < 0, v > 0;
— 1 —v<a:<-l + v, р> 0, v>0.
(12.17)
у=— s~ll3Q (и), и = е2/з (х — 1). Тогда уравнение (12.2) примет следующий вид:
(12.18)
Q^~ 2uQ + l = s->l*(u*Q-u).
(12.19)
ОО
<?И= 2 <?„(M)s-2/*n,
71 = 0
(12.20)
U
и
о
и
(12.21)
о
где а — наименьший корень уравнения
2
Положим c = -g+Y- Определим порядок у; так как у (— 1) = О (е—:Ч*), то еу тоже будет порядка г-1/3 и, следовательно, y = ^ (s_4/3)-
I 121 МЕТОД А. А. ДОРОДНИЦЫНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 153
Нетрудно показать, что ряд (12.6) сохраняет асимптотическвй, рсарак-тер до значений х, удовлетворяющих условию О (х—1) >
и, таким образом, области, в которых пригодны решения (12.20) и (Д2.6), перекрываются, причем асимптотическая сходимость этих разложений рбеспечена для х= — 1 +-е_1/3.
Таким образом, постоянную интегрирования с можно определить, приравнивая при ж=—1 + е-1/3 значения у, полученные из формул
(12.20) и (12.6):
СО ОО
в—1/* ^ s~2lsnQn ( - в—»/¦) = s % s_2n/n (- 1 + s-1/3). (12.22)
П=- 0 П= 0
Определяя из этого соотношения у с точностью до величин порядка ?—sl3, получим:
Y «-4,в~ 4 ^ - 1 - I in 4) е-2 + о (в-8/з), (12.23)
где 60 = 60 (а) — известная величина.
Определив постоянную с = -1- + Y, легко находим — корень уравнений /0(ж1) = 0, после чего, воспользовавшись уравнениями (12.12), получаем амплитуду автоколебаний
аъ 2 + е—4/3 - +1 (360 - 1 + 2 In 2 - 8 In 3) е“2 + О (в-8/3). (12.24)
Период автоколебаний может быть вычислен согласно формуле
-2]ш- (12'25)
Для этого разбиваем весь промежуток интегрирования на пять частей соответственно различным областям:
1) от —а до — ж2 —по области II, где х2 — значение х, полученное по формуле (12.10) при значении
. (1-s-4'3) а .
а2 —1
2) от — х2 до — (1 Н- е—1/з) по области III;
3) от — (1-j- s-1'3) до — (1 — е-1/3) по области IV \
4) от — (1 —¦ е—1/з) до х* по области I, где х* определяется [по формуле
11 In S Xi
1,1 е x\ — i s2 (xf — l)2
— ^ [ (ж?—I)2 ln Xl ~~ ^ ~ + (Ж2^.1)3 ] —
(12‘26)
5) от x* до а по области II.
Тогда полный период Т будет равен
Т — 2[Т1-\-Т2-\-Т3-\-7\-\-Тъ), (12.27)
где Т{ — часть интеграла (12.25), взятая соответственно для г-го промежутка интегрирования.
154
МЕТОД ФАЗОВОЙ плоскости
(Гл. II
Произведя интегрирование для полного периода, получаем:
Т ^ (3-2In 2) в + Зав-1/»-+
+ ( 3 In 2 — In 3 — | + b0 - 2d) e'1 + О (в-*/») (12.28) или, подставляя численные значения коэффициентов:
Т » 1,613706s + 7,01432r'^|^ + 0,0087s1 + <у(г-4/з). (12.29)
При достаточно большом s можно в этой формуле пренебречь всеми членами, за исключением первого, в результате чего получим асимптотическое выражение для периода, совпадающего с формулой (11.10), найденной в предыдущем параграфе.
Для асимптотических решений (12.6), (12.10), (12.15) и (12.20) можно без затруднений доказать методом последовательных приближений сходимость (асимптотическую) в соответствующих областях.
Уже из рассмотрения полученных здесь асимптотических формул становится ясным, что случай большого s значительно сложнее, чем случай малого s. При s < 1 мы имели чисто степенные асимптотические формулы. Здесь же для е > 1 в них входят дробные степени, логарифмические члены. В случае е > 1 имеется большая чувствительность к конкретному виду уравнения, чем в случае s < 1. Естественно поэтому, что при больших значениях нелинейности фактическое построение приближенных решений требует большей конкретизации изучаемых дифференциальных уравнений.
