Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
в направлении от А к D или от ? к С и, таким образом, <pj (а) > 0.
Наоборот, вдоль DBE мы имеем dX < 0 и, следовательно, <ра (а) < 0.
Очевидно, что при увеличении а дуга AD будет подниматься, а дуга СЕ опускаться и, таким образом, для фиксированного х будет увеличиваться | у |. Так как для <рх (а) пределы интегрирования, принимая во внимание (10.9), фиксированы (от х = 0 до х = а), О то в результате увеличения а <рх (а) будет
уменьшаться, так как dX =
S (х)
dx
I F (х)
'±1
уменьшается при увеличении у.
Перейдем теперь к оценке характера изменения <ра (°0 при увеличении а. Пусть
и Og — два последовательных значения а, причем а2 > ах. Покажем, что
Ъ'Ы < % К).
Проведем перпендикуляры DXD[ и ЕгЕ' к прямой D2E2Z (рис. 62). Тогдаj
^ F(x)[dy= ^ Fp)dy + ^ F(x)dy+ ^ F{x)dy. '(10.10)
D2B2E2 D2D'
4*i
Е{Е2
138 МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ [Гл. II
Так как при этом F (х) >0, a dy < 0, то
^ F(x)dy< \^F(x)dy. (10.11)
D2B2E2
По самому построению D[ и Е[ мы видим, что у меняется на кривых D1B1E1 и D[E[ в одинаковых пределах (от большего значения
к меньшему).
С другой стороны, для данного у абсцисса х точки кривой D[EX будет больше, чем для соответствующей точки кривой
Поэтому для данного у F (х) на DlBlE1 будет меньше, ч«м F (х) на D[E[. Следовательно, поскольку dy < 0,
^ F(x)dy< ^ F{x)dy, (10.12)
D'E' D1B1E1
и из (10.11) найдем:
^ F(x)dy<. ^ F (x)dy, (10.13)
D2R2E2
т. е. действительно <р2 (аг) < ?2 (ai) ПРИ а2 > ai-
Таким образом, <р(а) = <рх(а) + <р2(а) при а>0 является монотонно убывающей функцией а.
Заметим, что в случае a<a имеем:
<p(a) = <pi(a) > 0.
Покажем теперь, что
— 92 (а) —> оо при а —> оо.
Фиксируем для этого какое-либо хх так, чтобы
а < хх < а,
и проведем ось РР' параллельно оси Оу через точку хх на оси Ох (рис. 59).
Имеем:
^ d\ < ^ d~k= ^ F (x)dy. (10.14)
DBE РВР РВР 1
Но для дуги РВРг имеем и, следовательно,
F(x)>F(x1).
Найдем поэтому
\ d\<F(xj) ^ dy= -F(xJ\РР[\,
DBE PBPi
откуда
-<p2(a) = - \ d\>KL-KP. (10.15)
DBE
Но ясно, что отрезки КР и KL могут быть взяты сколь угодно большими при достаточно больших а.
Итак, действительно,
S 10]
МЕТОД ЛЬЕНАРА
139
чем точка А, если а < а0, и, следо-
Таким образом, мы показали, что <р(а) является монотонно убывающей функцией от значений 9 (а) > 0 до 9 (а) = — оо при а —>оо. Следовательно, 9 (а) обращается в нуль один и только один раз для а = а0, а Г„0 будет искомая единственная замкнутая характеристика, так как для нее выполняется условие (10.7).
Покажем теперь, что Га„ будет устойчивым предельным циклом.
Если а < а0, то 9 (а) > 0 и, следовательно, Х(С)>Х(Л).
Если а > а0, то 9 (а) < 0 и, следовательно, X (С) <Х(4).
Пусть точки Ад и С0 соответствуют пересечению Гао с осью у, тогда очевидно, что точка С ближе к Г0 вательно, точка А' ближе к ГО0, чем А.
Проводя аналогичные рассуждения для случая а > а0, приходим к заключению об устойчивости предельного цикла Г„0.
Перейдем теперь к изложению метода фактического построения интегральных кривых йа фазовой плоскости.
Графическим методом Льенара обычно пользуются тогда, когда упругая сила g(x) линейна относительно х\ при этом соответствующим выбором новых переменных можно, не нарушая общности, привести уравнение (10.6) к виду
dy_
dx
y—F (х)
(10.16)
Метод графического интегрирования уравнений типа (10.16), предложенный Льенаром, состоит в следующем. На фазовой плоскости строим кривую Д, уравнение которой
y-F(x) = 0 (10.17)
{рис. 63).
Построив эту кривую, мы можем графически найти направление касательной к интегральной кривой уравнения (10.16), проходящей через любую точку фазовой плоскости. Для этого из точки М (х, у), для которой мы ищем направление касательной, опускаем перпендикуляр на ось абсцисс МС и продолжаем его до пересечения с кривой Д в точке D. Из точки D опускаем перпендикуляр на ось ординат DN. Тогда линия NM будет перпендикулярна к интегральной кривой уравнения (10.16), проходящей через точку М. Действительно, если фазовая точка уравнения (10.16) в момент t = 0 совпадает с точкой М(х,у), то спустя отрезок времени dt она переместится вдоль оси ординат на отрезок
dy = —xdt = ND dt — МС', а вдоль оси абсцисс на отрезок
dx = (у — F (х)) dt = MD dt = CM'
140
МЕТОД ФАЗОВОЙ плоскости
[Гл. II
Так как треугольники NDM и МС'М' подобны, то
МС’
ND
СМ'
DM
М’М
MN
Xi+F(yhO/'
0 N
т
и, следовательно, М'М _L MN.
Таким образом, для того чтобы через данную точку М (х, у) в плоскости х, у провести касательную к интегральной кривой Г, проходящей через эту точку М (х, у), достаточно провести вертикальную прямую
MCD, горизонтальную прямую DN и соединить точки N и М. Искомая касательная к кривой Г будет перпендикулярна к прямой NM, откуда следует, что, имея произвольную кривую Д и произвольные начальные урловия х0, у0, изображаемые точкой М0 (х0, у0), легко найти направление касательных и, следовательно, построить ; приближенную интегральную кривую.
' Итак, для построения интегральной кривой Г, проходящей через заданную точку фазовой плоскости М [х, у), поступаем следующим образом. При помощи описанного построения находим касательную в данной точке и заменяем интегральную кривую в окрестности этой точки небольшим отрезком касательной, затем в конце полученного отрезка опять определяем направление касательной и в окрестности новой точки заменяем интегральную кривую отрезком прямой. В результате получается приближенная интегральная кривая в виде ломаной линии, причем степень точности будет зависеть от величины отдельных звеньев.
