Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 50

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 138 >> Следующая

Рис. 72.
перейдет из положения Pi в Р5, что соответствует мгновенному изменению
знака скорости tj. Далее, при уменьшении т] скорость т] будет оставаться отрицательной и изображающая точка будет двигаться по кривой Р5Р2-В точке Р2 опять произойдет изменение знака скорости, а изображающая точка на фазовой плоскости скачком перейдет в положение Р3.
Таким образом, в течение одного периода колебания скорость т] терпит разрыв дважды — в моменты достижения величиной -ц максимального и минимального значения. Разумеется, на самом деле скорость непрерывна, хотя и меняется весьма быстро, так как з хотя и велико, но конечно, и, говоря о разрыве, мы допускаем определенное упрощение, соответствующее принятому нами асимптотическому приближению.
После того как нами получена зависимость скорости от смещения на фазовой плоскости и найден период колебания, не представляет затруднений построить кривые, представляющие т] ит] как функции t (рис. 71 и 72).
Рассмотренные нами колебания называются релаксационными и имеют широкое распространение в природе.
Приведенная здесь идеализированная разрывная трактовка уравнения Ван-дер-Поля при больших г может быть применена и в общем случае при исследовании нелинейных колебательных систем при г>1. При такой трактовке мы пренебрегаем в уравнении инерционным членом, в результате чего релаксационные колебания характеризуются дифференциальным уравнением первого порядка
F(^ + x = 0, (11.11)
« И]
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
147
причем последнее удобно обратить относительно ^ и написать в виде
dt
~ = Ф(х), (11.12)
где Ф (х) представляет определенную многозначную функцию типа, схематически изображенного на рис. 74.
Приведем еще пример конкретной релаксационной колебательной системы, описываемой уравнением типа (11.12).
Рассмотрим схему (рис. 73), представляющую последовательное соединение самоиндукции L, сопротивления R и нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой типа «S», замкнутое на источнике постоянного напряжения Еа. Здесь для элемента «S» вольтамперная характеристика
имеет форму, примерно изображенную на рис. 74. В качестве конкретной модели такого нелинейного элемента можно взять, например, электронную лампу в динатронном режиме.
Составляя для рассматриваемой схемы баланс напряжений, приходим к дифференциальному уравнению вида
Ri-\-v = Еа. (11.13)
Заметим теперь, что поскольку единственным резервуаром, способным запасать энергию колебаний, является в нашей системе самоиндукция,
то запасенная в ней энергия будет равна Li2. Так как в течение колебательного процесса энергия должна изменяться непрерывно, то очевидно, что и величина тока i должна также изменяться непрерывно, плавно увеличиваясь и уменьшаясь.
С другой стороны, в соответствии с рис. 74 нетрудно убедиться, что при плавном увеличении и соответственно при плавном уменьшении тока i напряжение v будет изменяться, как указано на рис. 75. Обозначим зависимость между напряжением и током, представленную графически на этом рисунке (причем учитываем только отрезки сплошной линии), функциональным соотношением
v=m, (ц-14)
в котором / (i) имеет два значения для i, изменяющегося в интервале (г0, ij).
148
метод фазовой плоскости
[Гл. II
Пусть параметры генератора подобраны так,, что в интервале (i0, ij значения функции
. Еа—Ri—/ (г)
Ф(г>
(11.15)
соответствующие нижней ветви f(i), положительны, а для верхней ветви отрицательны. Тогда в нашей схеме возбуждается релаксационный колебательный процесс, при котором ток i будет изменяться в пределах от i„ до it. Дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс, будет принадлежать к типу (11.12).
Как видно, в данном примере мы не доводили дело до построения
дифференциального уравнения второго порядка, а сразу приняли схему, которая привела к разрывному уравнению вида (11.12), в котором, не принимается во внимание инерционный член.
До сих пор рассматривался случай наличия одного замкнутого цикла. Если кривая, характеризующая зависимость (11.12), будет иметь вид, изображенный на рис. 76, то получим два замкнутых цикла.
Заметим, что рассмотренные релаксационные колебательные процессы протекают без внешних периодических сил, и потому естественно уравнение (11.12) называть уравнением свободных релаксационных колебаний.
Изложенная здесь разрывная трактовка релаксационных колебательных процессов интуитивно убедительна.
Однако если мы хотим ее строго обосновать или вычислить соответствующие поправки для формы колебаний и их периода Т, то необходимо обратиться к строгому методу асимптотического приближения, разработанному А. А. Дородницыным.
§ 12. Метод А. А. Дородницына для уравнения Ван-дер-Поля
В настоящем параграфе приведем метод, разработанный А. А. Дородницыным [15], при помощи которого можно построить интегральные кривые на фазовой плоскости в случае г>1.
Суть этого метода заключается во введении некоторых «связующих» областей и в построении для этих перекрещивающихся областей особых
1
асимптотических разложении по степеням —.
§ 12)
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed