Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 57

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 138 >> Следующая

дет лишь свободный член
разложения (13.2) возмущающей
силы
На основании (13.2) имеем тождественно:
т
(13.38)
х = a cos ф + авх (а, ф, 9),
(13.39)
а — const, ф = to (a) t -f- ft, & = const.
(13.40)
а)2 — (т ± тш)2.
В частном случае, когда собственные колебания отсутствуют, т. е. когда а = 0, формула (13.39) вырождается в следующую:
166 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ [Гл. III
где обозначено:
2тс
Ап = ^ /о (9> 0. °) cos /10 d%,
о
2тс
5П = ^ /о (6, 0, 0) sin и0 с?0.
о
Таким образом, при а = 0 в колебательной системе имеются лишь одни вынужденные колебания с частотами внешнего возбуждения т (п = 1, 2, 3, ...).
Поэтому в данном случае имеем дело с чисто вынужденными колебаниями. Режимы колебаний, соответствующие формуле (13.41), называются иногда гетеропериодическими, так как периоды всех гармоник колебания навязаны системе извне.
Если исследуемая колебательная система такова, что для не зависящей явно от времени слагающей е/0 (jc, возмущающей функции
f dx \ „
sf I 0, х, ) эквивалентный коэффициент затухания положителен:
ВД>0, (13.42)
где
2 л;
(а) = -j~2w ^ ^ / (0, о, cos ф, — aw sin ф) sin ф с?0 с?ф =
о о
2тс
= 2^- ^ /о (а cos ф, — аи> sin ф) sin ф с?ф,
о
то (см. § 7)
а (t) —> 0,
t-Ь ОО
н поэтому при выполнении неравенства (13.42) всякое колебание приближается к гетеропериодическому, так что гетеропериодический режим будет единственно возможным стационарным режимом.
Полученное условие (13.42) затухания собственных колебаний, вообще говоря, зависит от амплитуды внешней периодической силы. При отсутствии внешнего возбуждения, т. е. в случае, когда правая часть
уравнения (13.1) не зависит явно от времени, мы получаем обычное
условие самовозбуждения
Хе (а) < 0 (13.43)
и соответственно условие затухания
К(а)> 0, (13.44)
где
2 л;
К (а) = 2тш ^ ^ й C0S Ф’ _ аш S*n Ф) S*n Ф ^Ф *)’
/• dx \
*) / (0, асоэф, —аш sin ф) обозначает возмущающую силу / ( 9, х, J ,
dx
в которой положено а^асоэф, ~$t~—а амплитуды внешних периодических компонент равны нулю.
§ 19] «НЕРЕЗОНАНСНЫЙ» СЛУЧАЙ 167
dx
В зависимости от структуры нелинейной функции /(^9, ж,
может получиться, что одновременно выполняются условия (13.43) и (13.42). Тогда окажется, что система, являющаяся самовозбужденной при отсутствии внешнего периодического воздействия, теряет самовозбуждение при наличии внешнего периодического воздействия. В этом случае мы имеем дело с так называемым нерезонансным или асинхронным гашением.
Аналогично может представиться также и противоположный случай асинхронного возбуждения.
В начале предыдущего параграфа мы предположили, что правая
Г dx \
часть исследуемого дифференциального уравнения (13.1) /( vi, х, ) —
периодическая функция по i с периодом ^ и, кроме того, может быть представлена в виде конечной суммы (13.2), в которой коэффициенты
/" dx dx
}п ( х, J являются некоторыми полиномами по отношению к ж и .
Если сделать более общее допущение, предположив, что функция
/(^vi, х, может быть представлена в виде равномерно сходящегося
ряда
ОО
)= 2 *""/»(>?). <«¦«)
п=—ОО
в котором fn х, -^г^) — некоторые произвольные регулярные функции х
и то в выражение для иг (а, ф, 6), и2(а, ф, 9), ... вместо конечных
двойных сумм войдут двойные бесконечные ряды типа
оо ОО 2тс 2тс
- , - , -1(п0+тф) (. г
2 2 <i3-46>
п——со т=—оо О О
Благодаря присутствию делителей вида ш2 — (wv + mw)2 эти ряды, вообще говоря, будут расходящимися.
Как известно, в общем случае точки расходимости рядов такого вида на оси v (т. е. значения v, при котором ряд расходится) образуют всюду плотное множество.
Таким образом, каково бы ни было значение v, всегда можно найти сколь угодно близкое к нему значение v0, для которого ряд (13.46) расходится.
другой стороны, заметим, что для почти всякого значения отношения ~ (т. е. за возможным исключением множества меры нуль) мы можем найти*) такие С и о, что
' Р
я
> С
(1/>1+Ш)2+3
при любых целых р, q.
*) Действительно, фиксируем некоторое • положительное 8 и сколь угодно малое положительное г). Возьмем положительное С так, чтобы
V 1
168 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ |Гл. III
Но тогда
I / л \ I 0(0
\т + (т ± 1 )«> >-— > п ' 1
и по абсолютному значению каждый член ряда (13.46) будет соответственно меньше, чем
„в+1 | 2.те 2тс
| /о (а, ф, Q) е-,М+т*) dO Ц
о о
Поэтому данный ряд будет абсолютно сходящимся, если только /0(а, ф, 0) обладает по отношению к угловым переменным ф, 0 достаточным числом непрерывных частных производных.
Однако, чтобы не вдаваться в такие теоретико-числовые тонкости, целесообразно в практических приложениях не доводить дело до появления бесконечных сумм гармонических слагающих и отнести остаток ряда к высшим степеням е.
Иначе говоря, удобнее исходить из уравнений вида
*•¦?)+*%(>*.•?)+**•••. (,зу‘7>
f dx / dx
в которых /0 ( vt, х, ) ’ /1 ( v^’ х’ ~df J ’ • • • являются уже конечными
суммами типа (13.2).
Распространение же изложенной методики построения приближенных решений применительно к уравнению (13.47) не представляет никаких затруднений.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed