Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 68.
интегральная кривая — предельный цикл, к которой стремятся все интегральные кривые уравнения (10.29), соответствует периодическому решению уравнения (10.27).
Заметим, что замкнутый цикл содержит внутри одну особую точку с индексом +1, причем для е = 0,1 и з = 1,0 эта точка является неустойчивым фокусом, для г = 10 мы имеем неустойчивый узел.
144
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
[Гл. II
Исходя из рис. 67, можно судить о том, как изменяется характер движения в системе при изменении параметра s. При любых е в системе происходят автоколебания, но размах и форма этих автоколебаний и характер их установления различны. На рис. 68 для сопоставления приведены нами результаты численного интегрирования непосредственно ^ уравнения (10.29) соответственно
л
при тех же значениях параметра е, а также кривые, характеризующие непосредственно изменение х со временем (рис. 69).
В заключение заметим, что Ренсуки-Усуи *), комбинируя метод Льенара (подробно разработанный автором для случая симметричной характеристики) и ме-Рис. 69. ход Кирштейна (чрезвычайно за-
труднительный для практических применений), разработал стандартный графический метод решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы в само-возбуждающихся системах. Разработанный им метод может быть применен для рассмотрения колебательных процессов в сложных контурах, а также в связанных контурах.
Однако на этом методе мы здесь не будем останавливаться, отсылая интересующихся к соответствующей специальной литературе.
§ 11. Релаксационные колебательные системы
До сих пор мы рассматривали уравнение Ван-дер-Поля в основном при малом s и только в § 9 указали на те изменения, которые происходят в решении при возрастании з.
Рассмотрим теперь уравнение Ван-дер-Поля при больших е и, в частности, попытаемся найти асимптотическую форму решения при е—>оо.
Для исследования удобно взять уравнение Ван-дер-Поля в виде
d2x _ Г dx 1 С dx V
dt2 ? I dt
К-ЗгЛ+г-0 <11Л)
а добиться того, чтобы перед второй производной стоял малый параметр. Полагая в уравнении (11.1)
X =87], ]
получаем
или
—¦ <«•*>
---------Г3--------7
*) Р е н с у к и-У с у и, Нелинейная теория электрических генераторов, Report of Radio Research in Japan, vol. V, № 2, 1935.
§ 1 л
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
145
При s > 1 можем в уравнении (11.4) в первом приближении пренебречь сла-1 dt]
гаемым щ, после чего получим зависимость между т] и rj:
Т — 71.
(11.5)
при номощи которой не представляет затруднений исследовать характер движения на фазовой плоскости.
Построим кривую (11.5) (рис. 70) и заметим, что согласно (11.4) на
кривой (11.5) поле направлений горизонтально, так как щ =0 для всех
т| и 7], удовлетворяющих уравнению (11.5). В остальных же точках фазовой плоскости (за исключением точек, очень близких к кривой (11.5)) при s—>оо поле направлений стремится к вертикальному, так как
С?Г)
согласно (11.4)
d-q
оо при s —> оо для всех то-
чек, не удовлетворяющих уравнению (11.5).
Исходя из этого, видим, что при больших значениях е интегральная кривая уравнения (11.4), выходящая из произвольной точки Р (см. рис. 70), будет очень близка к вертикальной прямой почти до точки Р±, лежащей на кривой (11.5). Далее интегральная кривая пойдет вдоль кривой (11.5), оставаясь ниже ее, пока не достигнет окрестности точки Р2, после чего пойдет вертикально вверх до тех пор, пока вновь не достигнет кривой (11.5). Затем интегральная кривая будет следовать вдоль кривой (11.5), оставаясь над ней; досигнув точки Pit интегральная кривая повернется вертикально вниз. В результате мы получаем предельный цикл, который при $ —> оо будет иметь вид, изображенный на рис. 70.
Такую картину мы получаем вследствие того, что участки PsPi и Р2Р5 кривой (11.5) обладают свойством притяжения, причем чем больше е, тем сильнее будет притяжение. Так как в любой точке поле направлений вертикально, а на кривой (11.5) горизонтально, то любая точка стремится к кривой (11.5), подойдя к ней, отходит, так как на кривой поле направлений горизонтально, после этого точка снова стремится приблизиться к кривой (11.5). Если е достаточно велико, то указанных отклонений мы не заметим и практически получим картину, изображенную на рис. 70.
Асимптотическое значение для периода колебаний в рассматриваемом приближении находим, подсчитывая интеграл по предельному циклу.
Для уравнения (11.4) имеем:
dtx =
dti
(11.6)
откуда
(11.7)
146
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
[Гл. II
Так как на вертикальных участках цикла d-ц — О, то вместо (11.7) можем написать:
= 2( 111 Tj ¦
i7ll
(11.8)
Согласно (11.5) находим tj1 = 1, т]2 = 2 и, следовательно, для периода Tt при больших значениях е получаем формулу
7\= 1,614 " (11.9)
или, переходя к старым переменным, следующую асимптотическую формулу:
Т = 1,614в. (11.10)
Итак, для случая з>1 при асимптотической трактовке колебательный процесс будет протекать следующим образом: при возрастании т], начиная
от значений — tj0, скорость т) будет положительна и изображающая точка на фазовой плоскости будет двигаться по кривой -Р3-Р4 (см. рис. 70). Когда т] достигнет максимального значения^ т]0, изображающая точка скачком
