Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем теперь к рассмотрению конкретного примера.
Рассмотрим обобщенное уравнение Ван-дер-Поля
~-+у-в{\-у*)~==Е5\п v/, (13.48)
где е — некоторый малый положительный параметр.
Это уравнение, как указывалось выше, путем замены
у = ж + U sin v/, (13.49)
Е
где U — -j—^ (мы рассматриваем нерезонансный случай, следовательно, v не равно и не близко к единице), приводится к виду
-|-ж= е [1 — (х + U sin v/)2] Uv cos . (13.50)
и построим множество интервалов 1пт (для любых целых положительных и отри-
. п 2 С
дательных п, т) с центром в точках — и длинами------------------=г—-.
’ т (| и | +1 »п |) +0
С одной стороны, видно, что для любого числа х, не принадлежащего ни к одному из интервалов т, выполняется при любых целых п, т неравенство
п
т
>71-, ¦ I ~ |\2 + 3' • (»)
С
(\п\ + \т\У
С другой стороны, множество х, которое принадлежит к одному из интервалов 1п_ т, имеет меру, меньшую чем
2 mes 1п, т < ‘Л-
п, m
Таким образом, для всех х, за возможным исключением х, принадлежащих к мно-
жеству меры, меньшей т), выполняются неравенства (а).
§ 13] «НЕРЕЗОНАНСНЫЙ» СЛУЧАЙ 169
Воспользовавшись формулами (13.35), получим решение уравнения (13.50) в первом приближении:
х = a cos (t -j- 8-), (13.51)
где 9-= const, а а, очевидно, должно быть определено из уравнения
da 1 (13.52)
dt 2 V 4 2
Уравнение первого приближения (13.52) показывает, что при
U2 <2 (13.53)
система самовозбуждена, и существует устойчивый стационарный режим колебаний, соответствующий амплитуде
а2 = 4 - 2U2.
При
U2 >2 (13.54)
амплитуда а с возрастанием t стремится к нулю и, следовательно, в системе происходит асинхронное гашение.
Найдем теперь решение уравнения (13.50) во втором приближении. Воспользовавшись формулами (13.39) и (13.37), имеем:
„ , . s?7v (4— U2 — 2а2) д , et/3v оа ,
х — a cos ф Н---------------'c°s9 +4(i-9^)cos 39 +
s[/a2(2 + v) /й 0,4 e[/a2(2 + v) ,й 0,ч .
+ ~4 (1 + v) (3+T C0S (9 + + 4 (1 — v) (3—~v)~ C0S +
. e?72a (2 + v) . /0„ . . s?72a (1—2v) . ,ofl a3 . /лопггч
+ l67(l + v) sin (29+ Ф) +~Ж(1~) sin (26 _ Ф) “"32 sin 3Ф’ (13-55)
где a и ф должны удовлетворять системе уравнений второго приближения:
da _ еа /" . а2 ?72
4 2~
1 1 а2 I 7а4Л | е2?72 (5у 1) I ,,о cm
ей ° \ 8 8 256) 8 (1 —v2) + / (1о.5о)
s2U2a2 (7v4 — 40v2 + 32v — 9) e2t/4 (1 + 4v —8v2) I
+ 32 (9 —v2) (1—-v2) + 64(1 —v2) ’ )
Как и следовало ожидать, во втором приближении у нас наряду
с вынужденными колебаниями с частотами v и 3v, равными частотам
внешней силы, появились компоненты с кратными частотами Зш, а также с комбинационными частотами v ^ 2ш, 2v ± ш, что характерно только для нелинейных систем.
Далее, на основании ранее сказанного при выполнении условия (13.53) гетеропериодический режим колебаний является неустойчивым и поэтому физически невозможным. В случае выполнения условия (13.54) гетеропериодический режим будет единственным устойчивым стационарным
режимом. С течением времени в системе установятся гетеропериодические колебания вида
_ »Ui (4— U2) ^ fl , bU^ _00 ,л0
170
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[ГЛ. III
§ 14. «Резонансные» случаи
Перейдем к рассмотрению резонансных случаев. Предположим, что
где р и q — некоторые взаимно простые числа.
Тогда в зависимости от характера стоящей перед нами задачи может возникнуть два различных подхода к ее решению: 1) при исследовании резонанса достаточно ограничиться рассмотрением только самой резонансной области; 2) кроме изучения резонансной области, необходимо также изучить подходы к этой области из нерезонансной зоны.
Начнем рассмотрение с первого случая, как более простого. Ввиду
п
того, что в этом случае предполагается рассматривать значения у v, достаточно близкие к ш, естественно положить
где еД представляет собой расстройку между квадратом собственной и внешней частоты.
Тогда исходное уравнение (13.1) запишется в виде
Таким образом, расстройку еД ввиду малости относим к возмущающей силе, после чего решение уравнения (14.2), как и в нерезонансном случае, можем искать в виде
где иг (a, vi, ф), и2 (a, vi, ф), . .. — периодические функции с периодом 2тг по обеим угловым переменным v/иф, ааиф — некоторые функции времени, которые мы должны определить из соответствующих дифференциальных уравнений.
Для составления этих уравнений удобно ввести в рассмотрение, кроме угловой переменной ф, представляющей собой полную фазу колебания, еще разность фаз
Как уже ранее указывалось, из простых физических соображений следует, что в резонансных случаях разность фаз между собственным колебанием и внешним воздействием может оказывать существенное влияние на изменение амплитуды и частоты колебания. Поэтому в отличие
от ранее рассматривавшихся случаев мы будем представлять и
как функции не только а, но также и Э-, иначе говоря, мы будем определять а и ф как решения дифференциальных уравнений вида
(14.1)
х = a cos ф -(- (a, vi, ф) + г2и2 (a, vi, ф) + »*»»
(14.3)
-fa — ®^1 (а> + ?2^2 (а1 + • • • >
= 7 v + e-Bi(a- fr) + e2?2(a, &) + ...,
(14.4)
§ 14]
«РЕЗОНАНСНЫЕ» СЛУЧАЙ
171
