Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 55

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 138 >> Следующая

В качестве таких условий естественно принять условия отсутствия резонансных членов в функциях н1(а, ф, vi), и2 (а, ф, vi), ..., т. е. членов, знаменатели которых могут обратиться в нуль.
Это условие равноценно требованию отсутствия в функциях и 1(а, ф, vi), и2(а, ф, vi), ... первой гармоники аргумента ф, а с физической точки зрения соответствует выбору в качестве величины а полной амплитуды основной гармоники колебания.
После этих предварительных замечаний перейдем к определению функций и1(а, ф, vi!), и2(а, ф, vi), ..., Аг{а), А2(а), ..., В1(а),
В2(а), ..., учитывая вышеприведенное дополнительное условие.
Дифференцируя (13.7), имеем:
+ {-««-¦-< •^+^+--}-SL + *? + *,?+-- («.9)
d2x f , . ди, оди, , 1 rf2a ,
_=|С08ф + г_1 + з^+...}-^- +
Г . диг 2ди2 1 d2\>
+ |_а8Шф + в_4 г2_+ ... j
Ч*4&+и&+-"Кт)Ч-<"*+-ф+*,Ф+-"Ь
dt J I да dt да dt 1 ' ' " | dt
д2иг t 2 д2иъ , \
dt
.of - дЧ1 , -2 д2ц2 Л
+ t dtd\+~ dtd\ + ¦ ' ’ J
I о f -II ^2“i 1 2 ^2“2 , 1 da dil д2иг „ д2щ MQ <in\
+ 2{-8тф + еЩ + ^+'-}т1+е*г + г Ж+-' (13Л0)
Заменив в (13.10) их выражениями по форму-
лам (13.8) и формулам (1.10) первого параграфа, подставляем найденные значения ~ , а также (13.7) в левую часть уравнения (13.1),
после чего, располагая результат по степеням малого параметра г, получим:
+ «Ас = г jljp1 ш2 + ^ + 2 a) + a)2Ml - 2ШВУ cos ф - 2юАг s in ф | +
+ г2 { 7$ ш2 + + 2 + “>2“2 ~ 2шоВ2 cos ^ “ 2<0^2 sin ^ +
+ (^А'Ча ~ аВ0 C0S Ф ~ Sin Ф +
+ 2'и^ 1Щ + 2‘°В' Ж + 2 S + 2 ^ } + ?3 • • • (13-1
160
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЙХ ЙЕРИОДЙЧЕСКИХ СИЛ
ЬГл. III
(13.12)
Правую часть уравнения (13.1) согласно (13.7) и (13.9) можем представить в виде
(dx
v?, х, ~^г J — 3- f(it, a cos ф, — аш sm ф) -f
+ e2[/*(vi, асоэф, — am sin ф) их -+-+ fx'(it, асоэф, — аоо sin ф) X
X ^^совф—ai?! sin ф+-^-а> + -^-^ J +ss. . .
Для того чтобы искомое выражение (13.7) удовлетворяло исходном) уравнению (13.1) с точностью до величин порядка малости sm+1 (как и выше, будем ограничиваться нахождением т-то приближения), необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях а в правых частях (13.11) и (13.12) до членов т-то порядка включительно.
В результате получим систему m уравнений для определения их(а, ф, 4t), и2 (а, ф, vi), ..., um(a, ф, vi), а также Ах(а), А2(а). ¦¦¦,Ат{а), Вх (а), В2(а), Вт(а):
„ д2их , 0 д2их . д2их 2 ¦¦2---л-2т -^-4: +ю2их =
д<Ь2
d<b dt ^ dt2
= /0(а, ф, Ч) + 2ат§х cos ф -f 2шАх sin ф, (13 13)
. д2и,о
dt2
+ a)2К2 =
= fx(a, ф, vi) -|- 2атВ% cos ф -(- 2mAs sin ф,
(13.14)
2 д1ит
¦ 2w
д2и„
д'1ип
дЦ2 1 dtydl 1 dt2 1 т
= fm-i(a> Ф> v0 + 2ашВт cos ф -f- 2тАт sin ф, где для сокращения обозначено
f0(a, ф, v?)=/(v?, асоэф, — ашвтф),
fx (а, ф, v?) = fx {yt, асовф, — аш sin ф) их +/*' (vi, a cos ф,
ди.
аш sin ф) х
X ? Ах cos ф — аВхsinф + w + ] + (аВ2,--^1 cos ф +
Аха + 2АХВХ ^ sin ф - 2тВх -
Л2|7_ Я2ц_
шАх, (13.15)
9 д2^1 л е) д2их j-) 9 d2u-i
dadt 1 diidl 1 “ да дф
Очевидно, что функции fk{a, ф, v?) являются периодическими функциями с периодом 2тг по обоим аргументам ф и ч и, кроме того, зависят от а. Явное выражение для этих функций известно, как только найдены значения Af (a), Bf(a), м,(а, ф, v?)(/=l, 2, ..., к).
§ 131 «НЕРЕЗОНАНСНЫЙ* СЛУЧАЙ 161
Прежде чем переходить к определению интересующих нас функций, приведем краткие сведения из теории кратных рядов Фурье.
Если / (х) — некоторая периодическая функция х с периодом 2тс (в случае произвольного периода 21 мы всегда можем путем линейного преобразования над х прийти к периоду 2тс), то, как известно, при определенных ограничениях она может быть представлена в виде ряда Фурье:
f (х) =4г+2 {апС0йИж+^п8’п,га;}| (13.16)
П=1
где
2те 2 it
an = ” ^ /(S)coswsdS, ь„ = -^ ^ /(5) sinnWS. (13.17)
Во многих случаях удобнее пользоваться рядом Фурье в комплексной форме.
В этом случае f(x) можно представить в виде
/(ж)= 2 cneinx> (13.18)
Л—-—СО
где
2 тс
с«=^H/(S)<rin6d6- (13Л9)
о
(Здесь индекс п принимает не только целые положительные, но и отрицательные значения. ) При этом получаем следующую связь между
коэффициентами Фурье (13.19) и (13.17):
_ Q-п ibn п а-п + ibn оп\
п 2 ’ -п— 2 ' (10.ZU;
Возмем теперь функцию / (х, у) периодическую, с периодом 2тс, по обеим переменным х ж у.
Рассматривая формально f (х, у) как функцию от х, имеем:
/ (х> У) S сп(У)е1пХ’ (13.21)
п=—оо
где
2тс
СП Ы = \ / (*' у) e"in5 (13.22)
Функция сп(?/) в свою очередь может быть разложена в ряд вида
СО
сп(у)= 2 с«-е‘ту. (13-23)
162
ВЛИЯНИЕ ВНВШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
|Гл. III
где
2п
спm = i ^ Сп (Ю е~1тГ> drl —
О
2тс 2тс
= 4^5 $/(*• -Ц) е~^+т^ dkdri, (13.24)
о о
Подставив полученное выражение для сп (у) в формулу (13.21) имеем:
ОО 90
/(*.?)= 2 2 спш^пх+ту\ (13,25)
ti——со щ ——ео
или сокращенно следующую формулу:
ео
f(x, у)= 2 cnmei(n*+my)> (13-26)
п, т=—оо
которая обобщает ряд Фурье на случай двух переменных.
Таким же образом, для периодической функции/ (хх, х2, ...,xN) от N независимых переменных периода 2и относительно каждой из переменных получим:
/(*i. х2, ...,**) = ^
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed