Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Во многих случаях для преобразования уравнения (10.1) вместо замены переменных (10.3) удобно произвести замену согласно формуле
хг = ^ x'dt и рассматривать уравнение в виде
Рис. 64.
dixl
~W
+450+*.='
(10.18)
или, обозначая— = г/ и исключая время t,
dy
v? + F(y) + x 1 = 0.
(10.19)
В этом случае уравнение вспомогательной кривой будет:
®1 + F(y)-0, (10.20)
на фазовой плоскости мы^получаем построение, приведенное на рис. 64. Опуская из точки М перпендикуляры на оси абсцисс Мт и ординат МС, а также опуская перпендикуляр из точки D на ось абсцисс, находим согласно уравнению (10.19):
Wm = - y-dy
(10.21)
МЕТОД ЛЬЕНАРА
141
и, следовательно, уравнение (10.19) может быть записано в виде
(10.22)
так как CM = xlf CD = — F (у).
Итак, и в этом случае можем провести построение приближенных интегральных кривых согласно изложенной выше схеме.
Если кривая А симметрична относительно начала координат, то построенные таким образом интегральные кривые Г будут навиваться на замкнутые кривые — предельные циклы, соответствующие периодическому режиму, существование и устойчивость которых были доказаны выше.
Заметим, что графическое построение, предложенное Льенаром, не предполагает обязательной симметрии кривой Д. Этот графический прием применим также в случае, если Д более или менее близка к симметричной кривой, например к кривой, определяемой характеристикой неоновой лампы и т. д. При этом кривая Д не должна обязательно изображаться каким-либо алгебраическим уравнением. Эта кривая может быть получена экспериментально; последнее очень важно с практической точки зрения.
Приведем некоторые примеры, иллюстрирующие описанное графическое построение интегральных кривых.
Заметим, что для некоторых частных случаев построение Льенара сразу дает интегральную кривую и необходимость в построении приближенной ломаной отпадает.
Например, в случае свободных линейных колебаний, описываемых уравнением
^ + Ж = °, (10.23)
уравнение фазовых траекторий будет:
dy х
dx у
В данном случае уравнение кривой Д будет ж = 0, и тогда точка N совпадает с началом координат для всех задаваемых значений точки D. Следовательно, интегральными кривыми будут окружности с центром в начале координат.
Если колебания системы происходят под воздействием линейной упругой силы при наличии кулонова трения, уравнение движения может быть представлено в виде
g' + 4/8igng+* = 0. (10.25)
В этом случае для кривой Д получаем следующее уравнение:
j dx_ а
х = А при > О,
¦ ,dx .п
х=—А при ^ < 0.
Очевидно, что для интегральной кривой Г в верхней полуплоскости
точка N совпадет с точкой Slt а в нижней полуплоскости — с точкой S2
(10.26)
(10.24)
Nm = CM — CD,
142
МЕТОД ФАЗОВОЙ плоскости
[гл. II
(рис. 65) независимо от задаваемых» значений точки D. Таким образом, интегральная кривая Г будет состоять из дуг окружностей с центрами в точках Sx и ?2; эти дуги переходят друг в друга при пересечении интегральной кривой с осью Ох. При этом очевидно, что амплитуда затухающих колебаний уменьшается на величину 2А при каждом
Рис. 65.
прохождении между двумя последовательными положениями покоя у = О до тех пор, пока колебательная система окончательно не приходит-в состояние покоя.
Проинтегрируем теперь методом Льенара уравнение Ван-дер-Поля, причем возьмем его в виде
<10'27>
Уравнение кривой Д на фазовой плоскости будет:
ж —е(1 — у2)у = 0,
(10.28)
где
s — некоторый параметр.
Свойства функции — е(1 — у2) у следующие:
1) при у = 0 и у= ±1 я = 0;
2) при у=± х принимает экстремальные значения:
, 2s
х — ~~г=
V 3
(рис. 66).
Согласно этому при увеличении г петля будет вытягиваться вдоль оси ж, приближаясь к паре прямых у= ± 1 (рис. 67).
В случае, когда г = 0, интегральные кривые уравнения
dy __ s(l — У2) У — х dx у
(10.29)
образуют семейство концентрических окружностей с центром в начале координат, и тогда это уравнение будет соответствовать простым гармоническим колебаниям.
При s=^0 исследование поведения интегральных кривых уравнения
(10.27) проводим, пользуясь графическим методом Льенара. Согласно этому методу для кривой (10.28) строим поле направлений и находим предель-
§ 10]
МЕТОД ЛЬЕНАРА
143
ные циклы. На рис. 67 приведены кривые (10.28), построенные соответственно для трех различных значений: ® = 0,1; е=1 и е = 10. На этих же рисунках по методу Льенара построены предельные циклы системы. Как известно, в рассматриваемом случае е>0 начало координат является неустойчивым положением равновесия, все интегральные кривые, выходящие из начала координат, будут описывать вокруг него расширяющиеся спирали.
Однако раскручивающиеся около начала координат спирали не могут простираться неопределенно далеко, так как для больших значений у затухание в колебательной системе, описываемой уравнением
(10.27), становится положительным.
При расширении каждой спирали ее последовательные витки все более и более сближаются друг с другом и все спирали асимптотически навиваются изнутри на замкнутую кривую — предельный цикл.
На этот предельный цикл будут навиваться как спирали, близкие к началу координат, так и спирали, удаленные от начала. Замкнутая
