Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Определим еще вид U (г) вблизи центра сил (при г->0). Мы будем считать, что U (г) имеет в нуле полюс, порядок которого меньше 2:
U (г)г-+о= , а <2. (49.7)
Сделанные нами предположения о виде U (г) охватывают весьма широкий круг задач атомной механики. Так, например, в проблеме движения валентного электрона в атоме речь идет о движении электрона в поле ядра атома, окруженного оболочкой более близких к ядру электронов.
При малых расстояниях действие этих электронов несущественно, основное поле будет кулоновским полем ядра. Потенциаль-
д
ная энергия электрона в кулоновском поле имеет вид у и поэтому
входит в класс (49.7). В случае взаимодействия двух атомов при малых расстояниях наибольшее взаимодействие есть отталкивание ядер по закону Кулона, т. е. потенциальная энергия имеет опять-таки вид А/r. В обоих примерах U имеет при г = 0 полюс первого порядка.
196 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Для исследования решения уравнения (49.5) представим это решение в виде
Я(г) = “?1. (49.8)
Подставляя это выражение для R в (49.5) и замечая, что, согласно (26.7),
“ 1 д ( 2dR\ № 1 d*u
Тг^ ~ 2|хдг \ дг)~ 2ц г dr* ’ ^49'9^
мы получаем следующее уравнение для и:
<4910>
Рассмотрим сначала асимптотические решения этого уравнения при г-+оо. Пренебрегая для больших г членом с -2 и U (г) (мы считаем С в (49.6) равной нулю), получаем простое уравнение
Обозначая
! = для ?>0 и = дЛя ?<0, (49.12)
мы получаем общее решение (49.11) в виде
и = + Сге~1кг, ? > 0, (49.13)
и = С1ег-Хг -\-С2екг, ?<0, (49.14)
где Сх и С2 — произвольные постоянные. Согласно (49.8) асимптотическое решение уравнения (49.5) имеет вид
pikr p-ikr
R = Cx~j- -\-Съ —j-, ?>0, (49.15)
R = Cx e^~ + C2 ^, ?<0. (49.16)
В первом случае ?>0 решение R конечно и непрерывно при любом значении постоянных. Как видно, оно представляет собой суперпозицию сходящихся и расходящихся сферических волн. Вероятность найти частицу в этом случае не исчезает даже для больших л Именно, вероятность найти частицу между г я гdr пропорциональна \R\2 и объему шарового слоя 4лг2^г1):
w (г) dr | R |2 4лг2 dr = 4л \C^ikr + C2e ikr |2 dr.
х) Пренебрежение в уравнении (49.10) потенциальной энергией U (г), сделанное нами, законно лишь в том случае, если U (г) при г -> оо стремится быстрее к нулю, нежели 1/г. В случае кулоновского поля V (г)г^аэ = В/г9 и асимптотические решения (49.15) и (49.16) несколько видоизменяется, но не столь существенно, чтобы это видоизменение отразилось на справедливости наших дальнейших рассуждений.
§ 491 ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 197
Такие состояния соответствуют апериодическим орбитам в классической механике, когда частица движется , из бесконечности к центру сил и уходит опять в бесконечность. Так как рассматриваемое нами состояние стационарно, то поток приходящих частиц должен равняться потоку уходящих. Это означает, что амплитуды приходящих и уходящих волн Ci и С2 должны быть
равны по модулю. Если положить C1 = ~rAeia, С2 =— ^ Ae~ia,
где Л и а действительны, то асимптотическое решение (49.15) можно представить в виде
= Л g”L(^r±g), (49.16')
т. е. в виде стоячей, сферической волны.
Иное положение вещей имеет место при Е < 0. В этом случае необходимо положить С2 = 0, иначе /?-> оо при г-> оо. Поэтому нужное решение будет
(49.16")
Для этих состояний
w (г) dr 4л | Ci |2е-2^ dr
и при больших г величина w(r)-+ 0, т. е. частицу можно найти лишь вблизи центра сил. Такие состояния соответствуют периодическим орбитам в классической механике, когда частица движется около силового центра.
Исследуем теперь поведение решений вблизи центра (г-*-0). Будем искать и (г) в виде степенного ряда
и (г) = ry (1 + агг + а2г2 +...). (49.17)
Подставим это выражение для и в уравнение (49.10). Тогда низшей степенью г будет ‘г*-2 или Л_а. Мы видим, что если а < 2, то низшей степенью будет rY~2. Член с rY~2 будет наибольшим (при г-*•()); поэтому, игнорируя величины высшего порядка, мы найдем, что результатом подстановки (49.17) в (49.10) будет
[у (у— 1) — L (/+ 1)] rY~2 +члены высшего порядка = 0. (49.18)
Чтобы это равенство было соблюдено тождественно при всех (бесконечно малых) значениях г, необходимо, чтобы
V(V-l) = /(/+l). (49.19)
Отсюда
y = l +1 или у = — 1. (49.20)
Следовательно, при г0 решение /?, равное и/г, имеет вид R = СУ (1 + ахг + а2г2 + ...) + Clr1-' (1 + а[г + + ...), (49.21)
где С[ и С-2 — произвольные постоянные.
198
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VUI
Для того чтобы функция оставалась конечной, необходимо положить C'i = 0. Таким образом, собственная функция R при малых г имеет вид
R ^ С[г1 (l + air+a2r2+...). (49.22)
При г-*-оо это частное решение перейдет либо в (49.15) (если ?>0), либо в (49.1.6) (если ?< 0). Полагая С* = 0, мы выбираем частное решение уравнения (49.10). Поэтому коэффициенты Ci и С2 в (49.15) или в (49.16) будут находиться уже во вполне определенном отношении друг"к другу (абсолютная же величина этих коэффициентов не имеет значения, так как уравнение (49.10) есть однородное уравнение). Это отношение зависит теперь только от параметров уравнения (49.10), в частности, от Е. Следовательно, при Cj = 0 имеем
