Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 65

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 229 >> Следующая

1 = 2 1> И РЛтЬтпСап, (46.6)
а т п
т. е.
Рпт = 2 ^оР&гпРап* (^6.7)
а
где сап суть амплитуды в разложении ^(х) по- фл (х). Стало
быть, в этом представлении имеем
l^TiTi^mLmn = S^{pl). (46.8)
т п
Диагональный матричный элемент матрицы р имеет смысл вероятности (или плотности вероятности).
Действительно, полагая в (46.4) х*— х, найдем
Р** = 2 I ФаМ \2~w (*)> (46.9)
а
т. е. плотность вероятности для координаты х в смешанном ансамбле. Подобным же образом из (46.7) получаем
ряп=2р«к„„|2=ш„, (46.Ю)
а
т. е. вероятности найти в смешанном ансамбле значение М = Мп.
Рассмотрим теперь, как будет меняться оператор р с течением времени. Матрица (46.4) определяет р для какого-то момента времени, который мы можем принять за начальный (/ = 0). Смешанный ансамбль, описываемый этой матрицей, есть набор кеза-висимых систем, каждая из которых находится (с вероятностью Ра) в одном из чистых состояний tya(x)= ^(х, 0). Система, находившаяся в момент t = 0 в чистом состоянии tya(xy 0), в момент
*) Этот оператор был введен Нейманном (см. I. V. Neumann, Qott.
Nachr., 1927).
180 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ (ГЛ. VII
/>0 будет также находиться в чистом состоянии i|)a(х, t), которое можно найти из уравнения Шредингера
t) = ^ НххЛК (//j () ^ (46 j 1}
или для сопряженной функции t) из сопряженного урав-
нения
-ih ^Г] = I (х"> 0 dx"- (46-11')
Здесь Нх'х" есть матричный элемент гамильтониана в «^-представлении.
Вероятности же Ра, будучи вероятностями начальных данных (Ра есть вероятность того, что при ^ = 0 система находится в состоянии ^„(х, 0) = г|>а (*)), конечно, не зависят от времени1). Поэтому в момент t > 0 матрица р будет равна
рхх’ (t) = 2 ра#% (х’> 0 Ч’а (*, 0- (46.4')
Дифференцируя это уравнение по времени и выражая с помощью
(46.11) и (46.1 Г) производные волновых функций через оператор Гамильтона, найдем
= НХХ'РХ.'Х. dx"-~^ рхх..Н^ dx" (46.12)
(при этом мы воспользовались тем, что Н*>Х" — Нх-х-) или в операторной форме
f =-1я, р], (46.13)
где [Я, р] есть кванторая скобка Пуассона.
Это операторное уравнение позволяет определить оператор р для любого момента времени, если он известен при / = 0.
Преимущество описания ансамбля посредством оператора р в сравнении с описанием с помощью'ф-функции заключается в том, что оператор р позволяет единообразно рассматривать как смешанные, так и чистые ансамбли.
Обратимся теперь к тем изменениям в операторе р, которые возникают в результате измерения. Пусть производится полное измерение (измерение величины или набора величин М). Пусть собственные функции оператора М будут фл (х). Тогда ^вероятность найти М = Мп будет (46.10). После измерений возникает новый смешанный ансамбль, в котором новые чистые состояния фя(х)
г) Однако Ра могут изменяться в результате измерений. См. ниже.
МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
181
будут представлены с вероятностями wn, т. е. после измерения*) рхх' = 2] (*') Ф« (х). (46.14)
и мы получаем совершенно новый смешанный- ансамбль.
В квантовой статистике состояния никогда не характеризуются полным измерением. Поэтому там всегда имеют дело со смешанными ансамблями. В силу этого оператор плотности р приобретает особо большое значение именно в квантовой статистике.
С помощью матрицы плотности можно описать не только движение микрочастицы, но и макроскопических систем, а также взаимодействие микросистем с макроскопическими системами*
Как известно, в классической статистике ансамбль независимых систем (который обычно называют ансамблем Гиббса) характеризуется плотностью вероятности D.(p, л:) такой, что величина D(p, л:) х X dpdx имеет смысл вероятности найти систему с импульсом, лежащим около р, и координатой, лежащей около 2) х. Согласно теореме Луивилля эта плотность является постоянной, так что
+ Д]кл = 0, (46.15)
г и ТЛ1 дН до дН dD * п
где [Я, 0]кл= ~~~дх~др есть классическая скобка Пуассона.
Из (46.15) следует, что
d° = -[H,D]M. (46.15')
Аналогия между (46.15') и (46.13) очевидна.
Классический ансамбль Гиббса и квантовый смешанный ансамбль по своему существу (набор независимых систем) тождественны. Поэтому оператор р по аналогии с плотностью вероятности D и называют оператором плотности. Более полно связь между р и D может быть установлена, если вмесго рхх> ввести матрицу R (р, х), строки которой нумеруются импульсом, а столбцы координатой
X’)
R (Р, х) = J рхх’ е~~2лН-- dx'- (46.16)
х) Если, конечно, не произведено выбора подсовокупности, скажем, с М=Мп. При таком отборе полученный после измерений ансамбль будет чистым (с ф = фя (*)).
2) Мы пишем в обозначениях, соответствующих ансамблю систем с одной степенью свободы х. Под р их можно подразумевать совокупность импульсов и координат всех частиц, входящих в систему.
182 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГГ Л. VII
Тогда
$#(р, x)dp’=]pxx‘b(x — x')dx' = w{x), (46.17)
- ip(x-x')
^R(p, x)dx=^ pXX’e dx dx’ = ppp = w (p), (46.17')
где w(x) и w (p) — плотности вероятности для координаты х и для импульса*) р. Эти формулы совершенно аналогичны классическим:
$ D (р, х) dp = шкл (х), \ D (р, х) dx = шкл (р). (46.18)
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed