Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
В некоторый момент времени t0 операторы в обоих представлениях должны совпадать. Пусть это будет при /0 = 0. Волновую функцию в этот момент обозначим Ф(х): Ф (х) = яр (х, 0). В момент времени t эта функция, согласно (44.1), может быть и представлена в следующем виде:
i а
г|)(х, t) = S (t, О)Ф(х), где S (t, 0)=e'*W. (45.3)
Далее возможны два пути.
Можно взять операторы L не зависящими от времени и пользоваться при вычислении матричных элементов волновыми функциями яр(л\ /)• В результате получим шредингеровское представление.
Другой путь состоит в перенесении всей временной зависимости на операторы с помощью преобразования
L(t) = S-1(t, 0)LS(t, 0). (45.4)
В этом случае волновые функции Ф(х) не зависят от времени. Такое представление операторов и волновых функций называется гайзенберговским представлением.
Дифференцируя (4-5.4) по времени, получаем уравнение движения для гайзенберговских операторов
^ = nr + l H,L{tj\, (45.5)
где [Я, L(t)\ =^(1 (О Я —Я1(/)) —квантовая скобка Пуассона
(31.5).
Уравнение (45.5) формально совпадает с (31.7). Однако смысл этого уравнения теперь иной: оно не служит определением нового оператора а описывает эволюцию гайзенберговского оператора L (t) во времени.
Эквивалентность обоих методов вытекает из равенства матричных элементов операторов в шредингеровском и гайзенберговском представлениях1). Действительно, в представлении Шредин-
*) В этой связи следует подчеркнуть, что матричные элементы операторов определяют физически наблюдаемые величины, поэтому не могут быть различными в эквивалентных представлениях.
§ 451 ГАЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 177
гера матричный элемент Ln оператора L для любых двух состояний г|7х (х, t) и t)>2 (лг, t) равен
Z,ia = \'t* (*, t) tty2 (х, () dx.
Выражая здесь г|>* (ху t) и i|)2 (х, t) через Ф? (х) и Ф2 (л) с помощью (45.3), найдем
Lia = ^ ФГ (х) 3+ (t, 0) LS (/, 0) Ф2 (х) dx =
= $Ф? (x)L{t) Oi(x)dx = Lli (().
При этом мы воспользовались унитарностью оператора S : §+ = S л.
Частный случай перехода от представления Шредингера к представлению Гайзенберга был рассмотрен в § 42. Гамильтониан Н был приведен там к диагональному виду, поэтому
А ___- Е t
оператор S (/, 0) оказался равным е п п 8пт.
Помимо шредингеровского и гайзенберговского представлений находит применение, особенно в квантовой теории поля, представление взаимодействия. Суть его заключается в следующем. Пусть гамильтониан Н имеет вид
Н = H0 + W (х, t), причем уравнение Шредингера с гамильтонианом Н0
Н оФ/1 = Е ntyfl
решается точно, а оператор W (х, t) является малым возмущением1). В этом случае волновую функцию г|) (х, /), подчиняющуюся нестационарному уравнению Шредингера с оператором Н = = Hq+W (х, /), целесообразно искать в виде
i ^
гр (лт, t)=e~*H°%{x, t). (45.6)
Действительно, подставляя (45.6) в уравнение
ih?mA = (H0 + W(x, t))ty(x, t),
получим
= V (х, t) Ф (х, t), (45.7)
где
V(x, t) —e^HotW (х, t) е~ й н*
]) Например, Н0 описывает свободное движение частицы, a W (х, t) описывает воздействие слабого внешнего поля.
178 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ. VII
есть оператор энергии возмущения в представлении взаимодействия, а Ф (х, /) — волновая функция в том же представлении. Так как возмущения W (х, t) и V (х, t) считаются малыми, то преобразование (45.6) и (45.7) позволяет перейти к медленно. меняющейся волновой функции Ф(х, t) (при V = 0 Ф(дс, t) попросту постоянна).
Таким образом, в представлении взаимодействия и операторы и волновые функции явно зависят от времени. При этом изменение операторов во времени определяется «свободным» гамильтонианом Но'.
d^ = [Ho,F*3(t)}>
а возмущение W (х, t) обусловливает временную зависимость волновой функции
П = &ВЗ(Х, 0 Фвз (х, t).
В § 83, где рассматривается теория квантовых переходов под воздействием слабого возмущения, используется переход к представлению взаимодействия. Это преобразование выполнено
-*¦ — й t
там в энергетическом представлении, поэтому операторы е~ п ±iEJ
сводятся к числам е л .
§ 46. Матрица плотности
Пусть оператор L дан в координатном представлении в виде матрицы Lx'x. Среднее значение La в состоянии г)за (х) будет
(ср. (41.2"))
La = \)\dx'dx^t(x')Lx^a(x). (46.1)
Если из чистых ансамблей, характеризуемых волновыми функциями г|)0, образовать смешанный ансамбль такой, что каждое чистое состояние будет представлено с вероятностью Ра, то среднее значение L в смешанном ансамбле будет (ср. (22.18))
? = Е dx'№ (ХL*’Aa W (46.2)
a a
(при условии ^Ра= l). Равенство (46.2) можно переписать
в следующем виде:
Z — J J dx dxpxx'Lx'xt (46.3)
где рхх' равно
Рхх' = 2 рАа (х') S>e (х) (46.4)
a
§ 461 МАТРИЦА плотности 179
Оператор р, представляемый матрицей с элементами рХХ' (46.4), называется оператором плотности1).
Выражение (46.3) есть не что иное, как сумма диагональных элементов оператора pL.
Поэтому мы можем написать (46.3) в виде
Z = Sp(pL). (46.5)
В другом представлении, разлагая-ifа (х) по собственным функциям ^„(х) некоторого оператора М, имеющего дискретный спектр собственных значений Мг, М2, ..., Мп, ..., получим из {46.2)
