Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Более того, можно показать, что матрица R (р, х) подчиняется уравнению, которое при определенных условиях (гладкость полей и гладкость самой функции R (р, х)) превращается в классическое уравнение (46.15')2). Поэтому величина R (р, х) вполне аналогична классической вероятности (плотности вероятности) D (р, х), и ее можно, рассматривать как обобщение понятия вероятности на случай одновременно неизмеримых величин («.квазивероятность»). Величина же р**' аналогична компонентам Фурье от плотности D (р, х), т. е. величине
(» ,-р (*-*')
А**- = \ D (р, х) е п dp. (46.19)
х) Чтобы получить (46.17'), следует иметь в виду, что
-‘тг
2) Матрица R (р, х) была введена автором книги (см. J. Phys. USSR 2, 71 (1940)).
Глава VIII
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
§ 47. Гармонический осциллятор
В этой главе будут рассмотрены простейшие задачи атомной механики, относящиеся к движению частиц в поле потенциальных сил. Если силы не зависят от времени, то основной задачей атомной механики будет задача нахождения стационарных состояний системы. Действительно, в этом случае, согласно (30.8), произвольное состояние г|? (х, t) может быть представлено как суперпозиция стационарных состояний с постоянными амплитудами сп:
0 = 2 Сп% (X, t), а
Ent
•фя (X, t)=yn (х) е~1 ~г,
где (х) суть волновые функции стационарных состояний, а Еп — соответствующие значения энергии. Волновые функции г|зл (де) — это собственные функции оператора энергии Н. Они определяются, согласно (30.4), из уравнений Шредингера для стационарных состояний
Щ = ?ij).
Задача о нахождении стационарных состояний есть вместе с тем задача о нахождении спектра энергии Е.
Особое значение этой задачи д1ля атомной механики заключается в том, что в противоположность классической механике квантовая механика приводит во многих случаях к квантованию энергии, т. е. к дискретному спектру ее значений Еъ ?2> • • •. Еп, ... Эти значения часто называют квантовыми уровнями или уровнями энергии.
Если система (например, электрон в атоме, молекула и т. п.), обладающая таким спектром энергии, подвергается извне слабому
184
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
воздействию, то ее квантовые уровни не меняются (точнее, меняются мало). Однако благодаря внешнему воздействию система может переходить с одного уровня на другой, так что ее состояние может измениться значительно. Вероятности этих переходов мы вычислим позже.
Нахождение же возможных значений энергии позволит нам сразу сказать, каковы возможные изменения энергии рассматриваемой нами системы, если между ней и какой-либо другой системой или внешним полем установлена слабая связь1). Так, если найденные уровни энергии будут Еи Е2, ..., ЕП1 ..., Ету ..., то обмен энергий возможен лишь порциями:
Л Е = Ет-Еп.
Рассмотрим простейший случай движения частицы в потенциальном поле —гармонический осциллятор. В классической механике гамильтонова функция одномерного гармонического осциллятора имеет вид
р1
н=^ + ~тх2- (4^)
Здесь рх — импульс частицы, — ее масса, х — отклонение от положения равновесия, а со0 — собственная частота (циклическая) осциллятора.
Заметим, что гармонический осциллятор, поскольку речь идет
о механических колебаниях, является идеализацией, так как значение потенциальной энергии U = х2 означает, что ’ по мере
удаления от положения равновесия сила неограниченно возрастает. Во всех реальных случаях, начиная с некоторых значений амплитуды, появляются заметные отступления от гармоничности, а при больших значениях х сила взаимодействия стремится к нулю (at/ — к постоянной величине). Однако для небольших амплитуд колебаний х вполне можно пользоваться представлением о гармоническом осцилляторе.
Теория гармонического одномерного осциллятора имеет большое значение в приложениях, так как подходящим выбором координат («нормальные координаты») движение любой системы частиц, совершающих малые колебания, может быть сведено к движению совокупности независимых осцилляторов2).
В квантовой механике под одномерным осциллятором мы будем понимать систему, описываемую оператором Гамильтона Я, равным,
А) Если связь между системами сильна, то мы имеем одну целую систему. Если внешнее поле велико, то уровни в системе заметно меняются. Поэтому предположение о слабости связи является существенным.
2) См. § 109. Теория квантовых гармонических осцилляторов находит важ-
ное применение в квантовой теории поля.
§ 47] ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 185
в полной аналогии с (47.1),
Я = 0 + ^Х2, (47.2)
где Рх — оператор импульса, а X — оператор координаты1). Соответственно этому гамильтониану уравнение Шредингера в <ш>-представлении для стационарных состояний осциллятора имеет вид
-|S+*?^=?4’- <47-3>
Для решения этого уравнения введем безразмерные величины
l=it- <47-4>
Обозначая дифференцирование по | штрихом и рассматривая i|) как функцию после элементарных преобразований мы приведем уравнение (47.3) к виду
Ф" + (*-т = 0. (47.5)
Нам нужно найти конечные, непрерывные и однозначные решения этого уравнения в интервале — оо <?< + оо. Такие решения уравнение (47.5) имеет не при всех значениях параметра X, а лишь при
