Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
значения этих функций из (25.16), имеем
wi,±i (е) = 8я sin2e> (51.22)
в»1(О(0) = ^ cos2 0. (51.22')
На рис. 34 изображены вероятности o^+i,- wli0, а также соответствующие орбиты по теории Бора. Из рисунков видно, что
ерли по боровской теории в случае, например, т — ± 1 вероятность
найти электрон отлична от нуля лишь в плоскости орбит (0 = я/2), то по квантовой механике она не равна нулю и для других значений угла 0 (на конусах 0== const). Соответствие замечается в том, что максимум вероятности лежит при 0 = л/2. Подобное же соответствие имеется и для т — 0.(максимум при 0 = 0).
Состояние с I — 2 (т = 0, ± 1,
±2) называется с!-чсостояние|м, а терм — d-термом. На рис. 34 приведена и вероятность до21 для
1 = 2, т = 1. Из формул для сферических функций (25.16) получим
Щ, 1 (9) = Nii [Р\ (cos 0)]2 = = ^ sin2 0 cos2 в. (51.23)
При / = 2 и т=1 мы имеем по Бору совокупность орбит, нормали к которым образуют конус с осью OZ и углом раствора, равным 60?. На конусе с раствором 60° лежит и максимум вероятности по теории Бора. По квантовой механике этот максимум приходится на угол 45°.
Вид вероятностей wlm(b) (рис. 34) позволяет нам создать некоторое представление о форме атома в различных состояниях. Эта форма определяется значением орбитального числа /, а магнитное число т, как видно, определяет ориентацию атома в пространстве.
Из приведенных выражении для вероятностей wlm (0) видно, что функция Pf с 1 = 0 не имеет узлов, с 1=1 и т = 0 имеет одну узловую поверхность (плоскость 0 = я/2), с 1 = 2 и ш=1 — опять одну узловую поверхность (плоскость б = я/2). Вообще уравнение Ру(cos0)=O дает / — \т\ действительных корней 0ь 02, ..., 0/—\т\. Эти углы и суть углы раствора конусов (0 = const)»
Рис. 35. Узловые поверхности действительной части функции Фл/т в. ф)-пг = п — / — 1 сфер, I — \ т \ конусов, | tn | плоскостей.
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ОДНОВАЛЕНТНЫХ АТОМАХ
215
которые образуют узловые поверхности. Часть волновой функций г])л/т, зависящая от угла ф, именно е/тф, не имеет узлов, но ее действительная часть cosmcp или мнимая (tsinmcp) имеют т узлов: <рь ф2, ..., фт, которые в пространстве дают узловые плоскости, проходящие через полярную ось.
На рис. 35 изображено семейство узловых поверхностей функции состоящее из сфер (узлы функции Rni)t конусов
(узлы функции Pf) и плоскостей (узлы функции cosmcp или sin/жр). Число сфер равно пг, конусов / — \т \ и плоскостей \т\. Всего имеется nr +1 — | т'| +1 т | = nr +1 = п — / узловых поверхностей. Таким образом, мы опять имеем иллюстрацию к общей теореме, упомянутой выше.
Приведенные на рис. 35 узловые поверхности характеризуются той же геометрией, что и узловые поверхности колеблющегося шара. Поэтому функции ^nim{r, 0, ф) имеют сходство с функциями, изображающими колебание шара, подобно тому как собственные функции осциллятора г|)л (х) имеют сходство с функциями, изображающими колебание струны.
§ 52. Движение электрона в одновалентных атомах
Существует ряд атомов, имеющих один валентный электрон: это атомы щелочных металлов Li, Na, К, ... Мы будем называть их водородоподобными. В этих атомах имеется группа внутренних электронов, а внешний, валентный электрон движется в поле ядра и этих внутренних электронов.
Строго говоря, мы имеем дело в этом случае с многоэлектронной проблемой. Однако в перечисленных атомах имеется одна особенность, позволяющая приближенно свести задачу к задаче о движении одного электрона в поле центральных сил. Дело в том, что если удалить из такого атома валентный электрон, то оставшиеся электроны образуют электронную оболочку, характерную для инертных газов. Например, ион Li+ имеет электронную оболочку, аналогичную электронной оболочке атома Не. И опыт, и теория показывают, что электронная оболочка инертного газа образует весьма прочную систему, имеющую сферическую симметрию и мало деформирующуюся внешними воздействиями. Поэтому приближенно можно поступить так: считать, что внешний валентный электрон вообще не влияет на внутренние электроны, и таким образом рассматривать движение внешнего электрона в поле ядра и внутренних электронов.
В силу сферической симметрии распределения последних поле, создаваемое ими, будет центральным1). Найдем потенциальную
!) Подчеркнем еще раз, что это верно лишь приближенно, так как внешний электрон на самом деле будет поляризовать внутреннюю электронную оболочку.
216 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
энергию внешнего, валентного электрона U (г) в поле ядра атома и внутренних электронов. Обозначим через V (г) потенциал этого поля, тогда
U(r) = — eV(r). (52.1)
Пусть, далее, р (г) есть средняя плотность электрического заряда, создаваемая внутренними электронамих). Тогда полный элек-
тронный заряд [ — eN (г)], заключенный внутри сферы радиуса г, будет равен
Г
— eN (г) = 4л § р (г) г2 dr. (52.2)
о
Учитывая еще заряд ядра -feZ, мы можем представить полный заряд в рассматриваемой сфере в виде
eZ*(r) = e[Z-N(r)], (52.3)
где через Z* обозначен эффективный номер ядра на расстоянии г.
Отсюда по теореме Гаусса получаем, что поле Шг равно
