Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
/ = _?li=g= 13,55 да. (51.1)
Чтобы понять значение чисел, нанесенных на правой вертикали, напомним, что частота света о, излучаемого при переходе из уровня Enim в уровень Еп'гт'у согласно квантовой теории света,
208 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
определяется из уравнения Бора1).
Ы — ЕП1т En'i'm(51.2) Подставляя сюда энергию Ещт из (50.15), получим
'¦'<»• <51-3>
Эта формула (при Z = 1) дает частоту света, излучаемого или
Е
поглощаемого атомом водорода. Величина называется спектральным термом. Разности термов дают частоты. Для атома
водорода терм равен
«=1.2,3,... (51.4)
Величина
4лй3
/? = ?& = 3,27-10» тс-* (51.4')
называется постоянной Ридберга-—Ритца и впервые была вычислена теоретически Бором. В спектроскопии величину термов
Е
чаще указывают не в частотах а в волновых числах, показывающих, сколько длин волн А, укладывается в 1 см. Если циклическая частота света есть со, то обычная частота v = ^. Эту-то
частоту и измеряют обычно в 1/Я, так что спектроскопическая частота (волновое число) равна обыкновенной частоте v, деленной на скорость света с:
1 v со
^г.ггрктп — Т~ “Г" о________________________СМ
1
v спектр — X — с — 2Л€
Постоянная Ридберга — Ритца в волновых числах равна
я=ж = 109737>30 сл_1- <51-4")
Термы водорода в этих же единицах равны
R 1,09-105
п* tiz
п= 1,2,3,... (51.4"')
Числа, нанесенные на диаграмме уровней атома водорода (рис. 30) справа, дают величину спектральных термов в обратных сантиметрах. Линии, соединяющие уровни, по своей длине пропорциональны энергии кванта света, излучаемого или поглощаемого при переходе электрона между этими уровнями. оУказанные на этих линиях числа дают длину волны к света в А.
*) Это будет доказано. Пока мы опираемся на изложенное в § 2.
СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА
209
Все частоты, относящиеся к переходам, кончающимся одним и тем же нижним уровнем, образуют так называемую спектральную серию. Отметим наиболее важные серии водорода.
Переходы на уровень п = 1 (нижний) образуют серию Лаймана.
Частоты серии Лаймана вычисляются по формуле
v = *(-p-^)- Я = 2,3........... (51.5).
Среди этих спектральных олиний линия п = 2 имеет наибольшую длину волны X =1215,68 А. Она находится в ультрафиолетовой части спектра.
Переходы на уровень п = 2 соответствуют излучению видимого света. Совокупность этих спектральных линий образует серию Б а л ьм е р а. Частоты этой серии суть
v = « = 3,4,... (51.6)
Формула (51.6) была найдена Бальмером в 1885 г. на основе анализа эмпирических данных о спектре водорода. Впоследствии эта формула сыграла исключительную роль в расшифровке спектров и послужила пробным камнем для квантовой теории атома. Спектральные линии серии Бальмера обозначаются буквами
Я„(« = 3), Яр (п—-4), Ну (п — 5) и т. д.
Кроме серии Бальмера и серии Лаймана, на диаграмме приведены и другие серии, соответствующие переходам на уровни п = 3, 4 и 5 (серии Ритца — Пашена, Брэккета и Пфунда, соответственно). Линии этих серий лежат в инфракрасной области спектра.
Спектры водородоподобных ионов Не+, Li++ и т. п. имеют такой же вид, как и рассмотренный спектр водорода, но все линии перемещаются в область более коротких длин волн, так как в этих случаях постоянную Ридберга следует увеличить в Z2 раз. Именно, согласно (51.3) и (51.4"), частоты для этих ионов будут вычисляться из формулы
v = Z^(l- 1), п'<п. (51.7)
Обратимся теперь к более детальному анализу квантовых состояний и соответствующих собственных функций ^пШ (г, 0, <р) (50.23). Любое определенное состояние, задаваемое тройкой квантовых чисел я, /, т, представляет собой собственное состояние трех одновременно измеримых величин: энергии, квадрата момента импульса и проекции момента импульса на некоторое направление OZ, Все эти три величины имеют в состоянии
210
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. VIII
определенные значения, именно,
<51-8>
M*i = h4(l+ 1), / = 0, 1, 2, п — 1, (51.9)
Мг — Ят, т — 0, ±1, ±2, ±1. (51.10)
Таким образом, динамическое значение квантовых чисел п, I, т
заключается в том, что главное число п указывает величину энергии Еп, орбитальное число I — величину jSdcp момента импульса Mj и, наконец, магнитное число т — величину проекции момента импульса Mz на некоторое произвольное направление OZ.
Три величины Е, М/, Мг вполне определяют волновую функцию tynim и поэтому образуют полный набор величин. Число их, как и Л" - должно быть, равно трем, т. е. числу степеней свободы (ср. § 14).
Квадрат абсолютного значения tynim (г, 8, ф) («координатное пред-Рис. 31. Сферические координаты, ставление») дает вероятность того,
что при определении положения электрона в квантовом состоянии п, I, т он будет обнаружен в окрестности точки г, 0, ф. Точнее эта вероятность определяется так:
wnim {г, 8, ф) гг dr sin 0 d6 йф =
= Н>nim(r, 0, ф) |2 г2 dr sin 0 dB d(p. (51.11)
Чтобы нагляднее представить себе характер этой вероятности, мы приводим на рис. 31 сферическую систему координат. Полярная ось OZ выделяется тем, что она есть как раз то направление, на которое проектируется момент импульса Мг — Лт. Обозначая через dQ элемент телесного угла sin0d9<^ в области 8, ф и пользуясь формулой (50.23) для tynim, мы можем написать вероятность
