Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 72

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 229 >> Следующая

w(r)-+ 0 при г ->оо. Атомы находятся близко друг к другу и образуют молекулу АВ.
Для диссоциации молекулы, находящейся в нормальном (нижнем) состоянии, нужно затратить работу диссоциации D:
D=-E1. (49.27)
Заметим, что по классической теории эта работа равнялась бы U =—t/min, где ит\п означает наименьшую потенциальную энергию, D меньше D' на величину нулевой энергии
Из приведенных примеров видно, что, зная потенциальную энергию U (г), не производя решения уравнения Шредингера, можно сделать вывод о характере энергетического спектра.
§ 50. Движение в кулоновском поле
Самой простой задачей атомной механики является задача
о движении электрона в кулоновском поле ядра. С такой задачей мы встречаемся в атоме водорода Н, в ионе гелия Не+, в двукратно ионизованном атоме лития Li++ и тому подобных ионах, называемых водородоподобными. Обозначая заряд ядра через +eZ, где е — элементарный заряд, a Z —номер ядра в системе Менделеева, мы получим, что потенциальная энергия электрона в поле такого ядра по закону Кулона будет равна
!/(')=-“• (50.1)
Чтобы найти квантовые уровни для рассматриваемого движения электрона, нужно решить уравнение шредингера для радиальной функции R. Полагая
Я = 7-, (50.2)
мы получим для и, как было показано в § 49, уравнение
(49.10).
202
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Подставляя туда U из (50.1) и понимая под \х массу электрона, получаем следующее уравнение
й* &и . №1(1 +1) Ze2 п
- w т* + w м - - « = (50-3)
Рассматриваемый нами случай соответствует притяжению (см. рис. 28). Поэтому согласно общей теории движения в поле центральных сил мы будем иметь непрерывный энергетический спектр для Е > 0 и дискретный для Е <0. Мы поставим себе задачу найти этот дискретный спектр и соответствующие собственные функции R. В целях удобства решения введем вместо г и Е безразмерные величины
Р=ГаЯе = Т1’ (50-4)
где
«-*= 0,529.10-с*, = g = ? = 13,55м. (50.5)
Подстановка (50.4) в (50.3) приводит к тому, что в уравнении не будет содержаться атомных постоянных fx, еу Й. Именно, вместо (50.3) получаем
d*u , (п , 2Z 1(1 +1)\ ф2
+ (в + у-^) и-0. (50.6)
В соответствии с проведенным в предыдущем параграфе исследовании асимптотического поведения функции и мы будем искать и в виде
и(р) = *г“р/(р), а = У — е, (50.7)
где /(р) — новая искомая функция.
Подставляя а (р) из (50.7) в (50.6), мы найдем уравнение для функции/(р). Именно, после несложных вычислений получаем
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степеням р. Из общей теории мы знаем, что конечное при г — 0 решение
уравнения (50.3) таково, что ряд по степеням г должен начи-
наться с члена гм. Из (50.7) тогда следует, что конечное в нуле решение (50.8) должно начинаться с р*+1. Поэтому /(р) будем искать в виде
оо
/(p) = p'+12>vpv, (50.9)
v=o
где av —пока неизвестные коэффициенты ряда.
§ 501 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСК.ОМ ПОЛЕ 203
Ряд (50.9) должен быть таков, чтобы функция R (г), которую мы можем теперь, согласно (50.2) и (50.7), написать в виде
д(р ) = е^Ш, (50.9')
не возрастала до оо при р-*оо. Для нахождения коэффициентов ряда av подставим (50.9) в (50.8) и соберем одинаковые степени р. Эта подстановка дает
2>v«[(v + / + 2)(v + / + 1)-/(/ + 1)] +
+ av[2Z-2a(v-M+l)]}pv + , = 0. (50.10)
Чтобы ряд (50.9) был решением уравнения (50.8), нужно, чтобы
(50.10) было удовлетворено тождественно при всех значениях р от 0 до оо. Это возможно лишь в том случае, если коэффициенты при каждой степени р равны нулю, т. е. когда
flv+i[(v~W4'2) (v-f-/-J- 1) —1(1.1)] +
+ av[2Z-2a(v + /+l)] = 0 (50.11)
для всех значений v. Эта формула дает рекуррентное соотношение между av и av+i;
а____________2а (у +1 + *) ~~ 2Z_ _Q 1 о 3 /50 121
v+1— (v+«+2)(v + «+l)-/(/ + l) v’ J ’ ’ ’ •" ’
Первый коэффициент a0, конечно, произволен, так как уравнение однородно. Дав ему какое-либо значение, найдем из (50.12) ах\ по ai найдем а2 и т. д. Вычисляя все ау, мы получим искомое решение в виде ряда по степеням р.
Нетрудно видеть, что полученный ряд будет сходиться при всех значениях р, но при больших р растет столь сильно, что
при р —>оо будет стремиться к бесконечности *). Таким
z
х) Полагая Я = —, s = 2/ + l, перепишем (50.12) в виде
2a (V + S-T^)-*-flv + 1 V+l v-f-s+1
Отсюда видно, что отношение -> при v -» оо. Далее, мы можем взять такое v = v/, что
v'+^-Я ,
v'-fs+l > 2 е>0, —- (1 +е) <С 1«
Начиная с этого значения v, коэффициенты av растут быстрге, нежели коэф-
гДе е>0, 1(1+е)<1
204 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
образом, как это и следует из общей теории § 49, конечное при р = 0 решение не будет, вообще говоря, конечным при р = оо. Однако решение будет заведомо конечно и при р = оо, если ряд оборвется на каком-нибудь члене. Тогда /(р) будет многочленом и R будет стремиться к нулю при р-^оо.
Такое решение будет собственной функцией уравнения, так как оно конечно во всем интервале от р = 0 до р = оо и однозначно.
Легко видеть, что обрыв.ряда на каком-нибудь члене, например, номера v == пгу может произойти лишь при определенном значении параметра уравнения а. Действительно, положим, что коэффициент аПг еще не равен нулю. Чтобы следующий коэффициент anr+i обращался в нуль, необходимо, чтобы
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed