Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
2а (nr +1 + 1) — 2Z = О,
т. е.
»=ет+т- <5013>
Ясно, что при этом условии не только а„г+ъ но и все последующие коэффициенты обращаются в нуль, ибо все они пропорциональны а„г+1. Таким образом, (50.13) есть необходимое
и достаточное условие, чтобы решение / (р) обращалось в много-
член, а вместе с тем функция R (р) оставалась бы всюду конечной. Полагая
n = nr + l+1 (50.14)
и подставляя в (50.13) значение а из (50.7), получим
8 = -|. (50.14')
Имея в виду выражение Е через е (50.4), мы получаем, что конечные и однозначные решения R существуют лишь при следующих значениях энергии электрона:
^ = (50Л5)
фициенты ряда, определяемые рекуррентной формулой
Ъ a(l+eh ev+i—^qrr^v-
Ряд же с этими коэффициентами дает
fx (р) —ва (1+?>Р.
Поэтому / (р) растет быстрее (р), и, следовательно, функция (50.9') будет стремиться к оо при р->оо.
§ 501 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 205
где число п принимает, согласно (50.14), значения
л= 1, 2, 3, ..., пг = 0, 1, 2, 3, .... (50.16)
Число п определяет, как мы видим, энергию электрона и называется главным квантовым числом.
Полученная формула для квантовых уровней Еп электрона, движущегося в кулоновском поле, найдена впервые Бором на основе полуклассической квантовой теории. В этой теории, где квантование носило характер искусственного рецепта, приходилось специально оговаривать невозможность значения п = 0. В квантовой механике это значение исключено само собой, так как / принимает значения 0, 1, 2, ..., а пг есть номер члена ряда
(50.9) и имеет наименьшее значение 0.
Прежде чем перейти к подробному рассмотрению полученных квантовых уровней Еп, рассмотрим еще вид собственных решений R(р). Для собственных решений a — Z/n, поэтому формула
(50.12) упрощается:
а ____2Z п—(/-fv+i) 16'Ъ
av+1"“ п (v+l) (2/ + v + 2)av# (OU.Ibj
Вычисляя один коэффициент за другим и подставляя их в (50.9), получим / (р):
f(n\ .тл'^П n~/~1 (2Zp\ I (n-l-\)(n-l-2)!2Z^
oP [1 1! (2/ + 2) \ nj+ 21 (2/+ 2) (2/+ 3) \ n J +
4. 4/____\)n- (n — l — 0 (n — l — 2)... 1 /2Zp\Vl .-q
+ •••+( l) Пг\ (2/ + 2)(2/ + 3)...(2/ + /ir+l) [ n J J* PU.l/;
Отсюда видно, что целесообразно ввести новую переменную:
2Zp = 2Z (50 18)
^ п па ' >
Объединяя все постоянные множители в один фактор Nnt, мы получим из (50.9'), что функция Rnt (р), принадлежащая квантовым числам пи/, будет равна
Rm (?) = Nnle~ 2“ \lLn+il ®, (50Л9)
где через Ln+i обозначен многочлен, стоящий в фигурных скобках в формуле (50.17). Такое обозначение связано с принятым в математике. Дело в том, что многочлен в (50.17) выражается через производные многочленов Лагерра, которые определяются формулой
Lk® = e^(e-4*). (50.20)
Тогда под многочленом Ll (|) понимают многочлен
а (50.21)
206
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. Vtlt
Полагая здесь k = n + l и s = 2/4-1, легко убедиться, что мы получим многочлен, заключенный в квадратные скобки в (50.17).
Формулы (50.20) и (50.21) легко позволяют вычислять функции /?„/. Множитель N„i в (50.19) мы будем выбирать так, чтобы функция Rnl была нормирована к единице:
СО
\Rhr4r=l. (50.22)
о
Полная собственная функция, согласно (49.4), будет равна произведению R„i на собственную функцию оператора момента импульса, т. е.
ty/iim (г, 6, <р) = R„i (г) Yin (6, ф). (50.23)
Энергия Еп, как следует из (50.15), зависит лишь от главного квантового числа п. Если это число задано, то из (50.14) вытекает, что число /, которое называют орбитальным1), может иметь лишь такие значения:
/ = 0, 1,2, ..., ti— 1 (nr = re — 1, п — 2, ..., 0). (50.24)
Далее, как мы знаем, магнитное число т при заданном I про-
бегает значения
т = 0, ±1, ±2...............±1. (50.25)
Подсчитаем теперь, сколько различных волновых функций при-
надлежит квантовому уровню Еп. При каждом / мы имеем 2/+1 функций, отличающихся числом т. Но I пробегает значения от 0 до п—1, поэтому полное число функций будет
П — 1
2 (2/+1)= п2. (50.26)
/ = 0
Таким образом, каждому квантовому уровню Еп принадлежит п2 различных состояний. Мы имеем дело со случаем я2-кратного вырождения.
§ 51. Спектр и волновые функции атома водорода
Подставляя в формулу (50.15) значения универсальных постоянных е, |ы и й, мы можем вычислить квантовые уровни электрона, движущегося в кулоновском поле ядра номера Z. На рис. 30 приведены эти уровни для атома водорода (Z= 1).
г) Число I называют орбитальным квантовым, числом по той причине, что в старой боровской теории оно определяло при заданной энергии форму орбиты; т называют магнитным квантовым числом по той причине, что оно играет существенную роль в магнитных явлениях (см. §§ 74, 75, 129, 130).
СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА
207
Числа по вертикали слева дают энергию уровней в электро-новольтах (энергия отсчитывается при этом не от 0, а от нижнего уровня Ei). Как видно, по мере роста главного квантового
Е,эв
ft *3 п Hi tea 5 Г
12- 1 -ч
7/-
10J5. ¦JO' 1-2-
V, с/г1
LH.H.. Н.Н Н. Н Н.Н. S
JigHiMeWnHfrty,
I
<§¦
I
И
Рис. 30. Схема квантовых уровней атома водорода.
числа п уровни располагаются теснее, и при п — со ?ет = 0; далее идет область непрерывного спектра Е > 0, соответствующая ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна
