Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем матрицу х. Из (48.8) видно, что отличны от нуля лишь соседние с главной диагональю элементы, именно,
х=х0
° /I Vt •_ Vi О Vi о /i
(48.9)
В гайзенберговском представлении элементы матрицы оператора X будут равны (см. (42.12))
Xтп (О — ХтпР
где
®тп = = “о (т ~ п) •
(48.10)
(48.11)
Так как лишь для т = п± 1, то все матричные элементы
координаты осциллятора колеблются с одной и той же частотой, равной собственной частоте осциллятора ю0.
Вычислим теперь среднее значение координаты осциллятора х для произвольного состояния. По общей формуле (41.2) имеем
W)=2 2(0 (0=22^ (°) (О (°)- (48-,2)
На основании сказанного о матричных элементах хтп (t) среднее значение х будет гармонической функцией времени с частотой <о0-Иначе говоря, х зависит от времени так же, как зависит от
§ 491 ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 193
времени координата классического осциллятора1):
.x(0=acos((Oo/ + <p), (48.13)
где а —амплитуда, ф —фаза.
Матрица оператора импульса в «^-представлении может быть найдена либо путем вычисления интегралов
Ртп = § ¦фт.РАdx = — ih ^tym^fc-dx, (48.14)
либо, более просто, на основании квантовых уравнений движения. Согласно этим уравнениям
Р = (48.15)
т. е.
<48-1б>
Пользуясь формулой (42.11), находим
Ртп = (48.17)
ИЛИ
ртп = /[хсо0 (т - п) хтп. (48.18)
Разумеется, вычисление интегралов (48.14) ведет к тому же результату.
§ 49. Движение в поле центральной силы
Поле центральной силы характеризуется тем, что потенциальная энергия частицы в таком поле зависит лишь от ее расстояния г от некоторого центра (силового центра). Законы движения в поле центральной силы образуют фундамент атомной механики: решение общей задачи о движении электронов в атоме опирается в той или иной мере на результаты, относящиеся к движению одной частицы в поле центральной силы.
Обозначая через U (г) потенциальную энергию частицы, мы можем написать оператор полной энергии Н (33.12) в виде
fi=t + ^ + U(r), (49.1)
х) Этот же результат мы можем получить непосредственно из теоремы Эренфеста. Уравнение (34.1) для осциллятора принимает вид
d2x
откуда путем интегрирования находим
х = а cos (оУ+ <jp).
194
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
где М2 есть оператор квадрата момента импульса, a 7V — оператор кинетической энергии для радиального движения.
Из общей теории интегралов движения (§ 33) следует, что интегралами движения в поле центральной силы будут: полная энергия Е и момент импульса (т. е. М2, Мх, Му, Мг). Мы поставим себе задачу найти стационарные состояния частицы, движущейся в поле U (г).
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в нашем случае имеет вид
+ = (49.2)
Волновую функцию о|) естественно искать как функцию сферических координат г, 0, <рГ Мы должны найти однозначные, непрерывные и конечные решения if уравнения (49.2) во всей области
изменения переменных г, 0, <р, т. е. в области Osgz-sgoo, Os^
sg0s=;jt, 0sg<pss;2Ji. Так как операторы Н и М2 коммутируют, то они должны иметь общие собственные, функции, поэтому мы можем написать второе уравнение для ip:
(49.3)
Собственные значения М2, согласно § 25, равны %Ч (I 1), так что вместо Ai2t|) мы можем подставить в (49.2) величину НЧ (I + + l)^. Тогда мы получаем уравнение
+ U (г) Ф = EV- (49.3')
Это уравнение содержит явно лишь одну переменную г. Полагая теперь
У (г, 0, ф) = ? (г) Ylm (0, ф), (49.4)
где Yim (0, ф) есть собственная функция оператора М2, мы одновременно удовлетворяем и уравнению (49.3), и уравнению (49.3'), если функция R (г) удовлетворяет уравнению
TrR + ^p±R + U(r)R = ER. (49.5)
Это уравнение получается путем деления (49.3') на Yim. Мы будем называть его уравнением Шредингера для радиальной функции R(r).
Напомним (см. § 25), что функции Yim являются также собственными функциями одной из проекций момента импульса, именно —при нашем выборе координат проекции Mz. Поэтому в поле центральной силы полная энергия, квадрат момента им.-пульса и проекция момента импульса на некоторое произвольное
§ 491
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
195
направление 0Z являются величинами, одновременно измеримыми.
Возможные значения энергии ? определяются из уравнения
(49.5) и зависят от вида U (г). Они, кроме того, могут зависеть от величины момента импульса М2 (через число I), но они не могут зависеть от проекции момента импульса Мг (и, следовательно, от числа т): Мг не входит в уравнение (49.5). Это объясняется тем, что мы имеем дело с полем, обладающим центральной симметрией, так что все направления в пространстве физически равноправны, и поэтому энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента импульса. Для дальнейших выводов мы должны более подробно определить вид U (г).
Во всех реальных физических системах взаимодействие на бесконечно больших расстояниях бесконечно мало. Это означает, что асимптотически (при r-^со) потенциальная энергия принимает постоянное значение
U (г)г-»<х> — const = С, (49.6)
где С — произвольная постоянная, определяющая уровень потенциальной энергии в бесконечности.
Мы ^увидим, что характер решения уравнения (49.5) существенно зависит от того, больше или меньше полная энергия Е значения потенциальной энергии в бесконечности (С). Так как С есть произвольная постоянная, то в тех случаях, когда специально не оговорено, мй будем полагать ее равной нулю и различать два случая: ?>0 и ?<0.
