Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ = /(?). (49.23)
где / — некоторая функция Е, зависящая от вида уравнения (49.15), т. е. от U (г).
Если энергия частицы Е> 0, то оба частных решения (49.13) конечны, и поэтому при любом отношении С2/Сх решение (49.15) есть допустимое решение, в частности, и при том С«/Съ которое получается из требования Сг = 0. Поэтому мы не должны накладывать какого-либо нового ограничения на отношение1) C.2/Ci. Вместе с тем параметр Е может иметь любое значение. Отсюда следует, что если энергия Е > 0, то энергия не квантуется, а принимает все значения от 0 до +оо.
х) Из требования С', --0 как раз и вытекает асимптотическое выражение для R (49.15). Полагая С'2 — 0, мы тем самым выбираем if без сингулярностей в нуле. Благодаря этому будет справедливо уравнение сохранения для (29.7) (см. также дополнение VIII). Для стационарных состояний из (29.7) находим
yNdS=0
для любой замкнутой поверхности. Выберем в качестве такой поверхности Сферу с центром в нуле. Тогда JN=zJr. Из (29.5) и (49.4) имеем
j - U ?t! _ *. дЛ - т у, у * ЬdR* p*dR 1 2 drf~ 2 ~§r~K S7j-
Подставляя в предыдущую формулу и замечая, что dS — r2dQ, \ YlmYfmdQ = 1,
получим
Легко убедиться, что это равенство невозможно, если | Сх | Ф | Ct |.
§ 491
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
199
Таким образом, при Е> 0 мы имеем непрерывный спектр энергии. Другое положение дел имеет место при ?<0. Из требования конечности функции R в нуле (Сг = 0) не следует (72 = 0, так что в общем случае при R конечном в нуле решение будет возрастать в бесконечности неограниченно. Чтобы получить решения конечные и в бесконечности, нужно дополнительно потребовать С2 = 0. А это налагает ограничение на возможные значения энергии Е, так как тогда из (49.23) следует
g=/(?) = 0.
(49.24)
Это будет некоторое трансцендентное уравнение для Е. Корни этого уравнения
? = ?х, ?2, ..., ?„, ... (49.25)
и будут собственными значениями оператора энергии, так как только при этих значениях Е решение R конечно и при г — 0, и при г — оо. Следовательно, при Е <,0 получается дискретный спектр возможных значений энергии. Мы получаем в этом случае систему квантовых уровней
(49.25).
Рассмотрим теперь подробней несколько наиболее типичных
Рис. 27. Потенциальная энергия для случая отталкивания от г.
Энергетический спектр Е > 0 непрерывен.
Рис. 28. Потенциальная энергия для случая притяжения к центру.
Энергетический спектр для Е > 0 непрерывен, для Е < 0 состоит из отдельных уровней Ev Е2........Е . I есть
энергия ионизации.
видов потенциальной энергии U (г). Во всех случаях мы будем считать, что потенциальная энергия имеет (если имеет вообще) при /- = 0 полюс ниже, чем 1 /г2. Потенциальную энергию в бесконечности условимся считать равной нулю. На рис. 27 изображена потенциальная энергия U как функция расстояния от центра г для случая отталкивания частицы. В этом случае
200
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VII!
полная энергия частицы положительна1). При Е> О спектр энергии непрерывен. Следовательно, в случае отталкивающих сил возможны все значения энергии от 0 до +оо. Это обозначено на рисунке штриховкой. На рис. 28 изображена потенциальная энергия для случая притяжения. В этом случае мы должны различать две возможности: ?>0 и ?<0. В первом случае спектр будет непрерывным (штрихованная часть рисунка). Во втором случае мы получаем дискретный спектр значений Elf Е2у ..., Еп. Эти квантовые уровни изображены на рис. 28
горизонтальными линиями. Приведенный спектр, состоящий из прерывного и сплошного, является как раз тем энергетическим спектром, который свойствен электрону, взаимодействующему с ядром, или положительным ионом (притяжение по закону Кулона).
Дискретные уровни отвечают, как было показано выше, движению электрона в атоме (вероятность найти электрон вдали от атома исчезающе мала). Напротив, сплошной спектр отвечает ионизованному атому, так как электрон в этом случае может оказаться как угодно далеко от атома. Энергия, необходимая для ионизации, так называемая работа ионизации /, легко
может быть получена из приведенной на рисунке диаграммы. Действительно, энергия, которую имеет электрон в нормальном, невозбужденном состоянии атома, есть Ег. Для того чтобы атом был ионизован, нужно, чтобы энергия его электрона была больше 0, поэтому наименьшая работа, которая будет затрачена на
ионизацию атома в нормальном его состоянии, есть
1 = 0-Ег = -Е1т (49.26)
Рис. 29. Потенциальная энергия двух атомов,- образующих молекулу, как функция их расстояния R-
2) В классической механике это следует из того, что кинетическая энергия Т > 0, и если U > 0, то и Е > 0. В квантовой механике положение совершенно такое же:
2ц
Первый член есть кинетическая энергия и обязательно положителен, так как положительны собственные значения оператора Р2. Если U > 0, то и Е >0.
ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
201
Приведем еще другой образец потенциальной кривой, свойственный двухатомным молекулам АВ. При больших расстояниях атомы Л и В не взаимодействуют, поэтому можно положить U = 0 для г = оо. При меньших расстояниях атомы притягиваются и, наконец, на малых расстояниях они отталкиваются из-за отталкивания ядер и электронных оболочек при проникновении одного атома в другой. Поэтому потенциальная энергия имеет вид, приведенный на рис. 29. Для Е > 0 мы имеем опять непрерывный спектр. Вероятность w (г) остается конечной и при оо: атомы А и В могут находиться как угодно далеко друг от друга (диссоциированная молекула). При ?<0 получается ряд дискретных уровней Еъ Е2, Еп. В этом случае
