Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Я = 2я+1, п = 0, 1, 2, 3, ..., (47.6)
причем соответствующие функции i|>„ равны
(47'7)
где Н„(|) есть полином Чебышева — Эрмита n-го порядка2), определяемый формулой
(47.8)
У2пп1У^л а&
при этом множитель перед е'2 выбран так, что функция (|) нормирована по ? к 1:
-{-оо -{-оо
$ = (47.9)
Может возникнуть вопрос: почему имеет смысл называть систему с гамильтонианом (47.2) гармоническим осциллятором? Ответ заключается В том, что система, описываемая гамильтонианом (47.2), излучает и поглощает только одну частоту со0 (см. § 90, А) и при Й->- 0 переходит в классическую систему с гамильтоновой функцией (47.1) (ср, §§ 34, 35).
2) Подробности, касающиеся решения уравнения (47.5) и в особенности
требования (47.6), изложены в дополнении IX.
186
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. VIII
Таким образом, одного требования непрерывности и конечности ^ оказывается достаточно, чтобы параметр к получал лишь дискретные значения (47.6). Но, согласно (47.4), этот параметр определяет энергию. Сравнивая (47.4) и (47.6), находим, что возможные значения Еп суть
Эта формула показывает, что энергия осциллятора Е может иметь лишь дискретные значения. Число п, определяющее номер квантового уровня, называют главным квантовым числом.
Окончательно мы запишем собственную функцию, принадлежащую /г-му собственному значению и данную в «^-представлении, в виде
Обратим внимание на четность волновых функций осциллятора. Как легко видеть из формул (47.11) и (47.8), четность состояний осциллятора определяется четностью главного квантового числа /г.
Пользуясь формулами (47.7) и (47.8), выпишем несколько собственных функций вида (47.11)
Первая функция не обращается в нуль нигде (кроме х = ±оо). Вторая обращается в нуль при х = 0. Точку, где волновая функция обращается в нуль, будем называть узлом. Третья функция
Мы замечаем, что число узлов равно номеру функции п. Это свойство справедливо для любого я1). Таким образом, главное
*) Всегда номер собственной функции равен числу узлов. Общее доказательство этой теоремы см. у Р. Куранта и Д. Гильберта, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, 1951, стр 282—386.
%(х)=^гт=^Нп(1), У *о
I!
2
(47.11)
где % = х/х0.
Эти функции нормированы так, что
+оо
$ yh(x)dx=l.
—оо
(47.12")
(47.12')
(47.12)
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
187
квантовое число равно числу узлов собственной функции. Эти волновые функции изображены на рис. 23, а. Вид функций (х) аналогичен виду функции U„ (х), изображающей колебание закрепленной на концах струны.- Для сравнения "Ha рис. 23, б приведена функция Un (х) для основного тона (п = 0), первого обертона (/г=1) и второго обертона (п = 2).
Рис. 23. Волновые функции,
а — волновые функции осциллятора для п = 0, 1, 2, б) колебания закрепленной струны, U1 — основной тон, Ut> UA — первые два обертона.
Обнаруживающаяся аналогия между колебаниями струны и волновой функцией осциллятора не является случайной. Она обусловлена двумя обстоятельствами. Во-первых, в обоих случаях дело идет об одном измерении. Во-вторых, колебания струны — это собственные колебания. Согласно общей теореме об узлах собственных функций (см. примечание на стр. 186) число узлов функции (х) и функции Un (х) должно быть одинаково.
Чтобы получить более полное представление о квантовых состояниях осциллятора, мы приводим на рис. 24 потенциальную функцию осциллятора
U(x) = ^jP.
По.оси-ординат отложена потенциальная энергия, а по оси абсцисс отклонение х. На этом же рисунке горизонтальными линиями изображены уровни энергни ?„(47.10) для разных п. Такие диаграммы, на которых изображается одновременно энергетический спектр и потенциальная энергия, употребляются довольно часто. Они позволяют произвести простое сравнение с классической картиной движения. Рассмотрим, например, уровень Еу. Согласно классической механике, частица, имеющая энергию Еи
Рис. 24. Диаграмма квантовых уровней Еп и потенциальной энергии U (х) для гармонического осциллятора.
188
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
могла бы быть обнаружена лишь в области АВ. В самом деле, А и В суть точки, где потенциальная энергия равна полной. В этих точках кинетическая энергия Т равна нулю, так как
Точки Л и В называются точками пово рота. Очевидно, ОА=ОВ есть амплитуда колебания частицы, имеющей энергию Ег.
Вычислим вероятность w (х) dx найти частицу в области х, x-\-dx по классической механике. Эта вероятность пропорциональна времени dt> в течение которого частица проходит отрезок dx. Если период колебаний есть Г = 2я/со0, то мы можем положить
где v — скорость частицы. Выразим v как функцию х. Имеем
Эта вероятность изображена на рис. 25. Наибольшая вероятность приходится, как и следует ожидать, на точки поворота Л и В.
Вероятность найти частицу в области х, x-\-dx по квантовой механике равна (для п= 1)
Г рафик этой вероятности также изображен на рис. 25. Как видно, квантовая вероятность также имеет максимумы около классических
(47.13)
/ \ 1 UL Шп иЛ
w**(x)dx = r=?-
dt________<в0 dx
(47.14)
A- = asin(o0/,
