Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
(51.11) в форме
Wnim(r, 9. tp)r2drdQ = Rhi(r)r2dr\Yim(Q, <p)\2dQ. (51.12)
Если мы проинтегрируем (51.12) по всем углам dQ, то мы получим вероятность найти электрон между двумя сферами радиусов г и r-\-dr. Обозначим эту вероятность через
wni{r)dr — Rh(r)r2dr. (51.13)
§511 СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА 211
10 20 а) 8-состоят(1а0)
0,2
0,1
На рис. 32 даны эти вероятности для различных состояний. Числа на кривых показывают значение чисел д, I (tir = n — l— 1). Например, 31 означает п = 3,
/= 1 (nr= 1). По абсциссе отложено расстояние от центра р = г/а (см. (50.4)). Из графиков можно видеть, что число пг (которое называют радиальным квантовым числом) равно числу узлов волновой функции Rni. При этом мы имеем не узлы в точках, а узловые поверхности, ибо Rnt обращается в нуль при некотором г = /, а это означает поверхность шара радиуса г\ Стало быть, в состоянии, характеризуемом числами д, /, имеется пг =
— лг — / — 1 узловых поверхностей, имеющих форму сферы.
Выясним теперь значение введенной ранее длины а. Из вида функций Rnl (р) (50.19) следует, что при больших г (р оо) радиальная функция Rni принимает вид
Z\(2Zr\n- •
/41 / \1 ¦ "1 1 'Т 1
-1 \ ^ -
10 20 б)р-ттояния (1-1)
30
Rm (p)=Nnle
\ па J
+...
(51.14)
Рис. 32. Распределение заряда в первых состояниях атома водорода.
По оси абсцисс отложено расстояние г в радиусах первой боровской орбиты, по оси ординат — вероятность найти электрон в сферическом слое с радиусами г и г dr.
Поэтому при больших значениях г вероятность wnl (г) будет равна
2 Zr
Wnl (г) = N'nif i^ Jn. (51.15)
Отсюда следует, что длина na/2Z есть длина, определяющая размеры атома, так как для вероятность wnt (г) практиче-
ски равна нулю.
Приведем более подробный расчет для самого нижнего квантового состояния (л=1). В этом случае из (50.19) имеем
Следовательно,
Яю (р) =
(г) — Щйй2е
.L-r
а
2Zr
“(
'*)•
(51.16)
(51.17)
212
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Максимальное значение этой вероятности получается при р = = Zr/a = 1. Отсюда следует, что в состоянии п— 1 (1 — т — 0) наиболее вероятно найти электрон при
Это есть в точности радиус первой орбиты Бора, величина которого впервые была получена Бором из старой теории квантования в 1913 г.
Так как нижняя орбита по теории Бора —круговая, то по этой теории вероятность найти электрон в состоянии п=1 отлична
вероятности становится более наглядной и указывает на связь между квантовой и классической механикой, которая и в самом деле существует (ср. гл. VI).
Обратимся теперь к распределению по углам. Если проинтегрировать (51.11) по г от 0 до оо, то мы получим вероятность wlm (0, ф) dQ того, что электрон окажется лежащим где-то в телесном угле dQ (см. рис. 31) около луча (0, ф). В силу нормировки функций Rmt получаем
Из вида функции Угт(0, ф) следует, что вероятность не зависит от угла ф и равна *)
Следовательно, распределение по углам обладает симметрией тела вращения около той оси, на которую фиксирована проекция момента импульса (у нас эта ось есть ось OZ).
(51.18)
w
от нуля лишь на шаре радиуса г = г0. Согласно же новой квантовой механике она отлична от нуля во всем пространстве. На рис. 33 сопоставлены вероятности по старой теории (шкл) и по новой (оукв) для состояния п— 1 атома водорода. Приведенное соответствие между оукл и шкв наблюдается и для других состояний: оно является далеко не
полным, что видно уже из того, что в квантовой механике в нижнем со-
0
Г стоянии момент импульса М\ = 0 (/ =
(1=т=0). Несмотря на неполноту указанного
соответствия, картина распределения
Щт (9, ф) dQ = I Ylm (0, ф) I2 dQ.
(51.19)
wlm (0) dQ = N)m [P\m I (cos 0)]2 dQ. (51.20)
x) Nim—нормировочный множитель, см. дополнение V.
СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА
213
На рис. 34 мы изобразили графики вероятности wim для различных состояний /, т. При этом принята полярная система координат 0, wim, так что величина wlm откладывается по ради-усу-вектору. Для сравнения приведены орбиты по Бору, расположенные надлежащим образом. При 1 = 0, т=^0 вероятность
0\» (6) = [/>«]*
’ 4л
(51.21)
не зависит от угла 0, и поэтому мы имеем сферическую симметрию. Состояние, в котором момент импульса равен нулю (/ = 0),
s ,
электроны
Р
электроны
* а
гэлектроны
Рис. 34. Угловое распределение электронов ш/т (б) для s-, р-, d- и
/-состояний.
называют s-состоянием, соответствующий терм называют s - т е р м о м; s-состояние характеризуется, следовательно, шаровой симметрией. Соответствующих орбит по Бору нет. Это обстоятельство представляло одну из трудностей теории Бора, так как приходилось сопоставлять с оптическим s-термом состояния с / = 1 (т = 0, ±1), в то время как опыт однозначно показывал, что электрон в s-терме не обладает орбитальным механическим (и магнитным) моментом.
Состояние с 1=1 (т = 0, ±1) называется p-со стоянием, а соответствующий терм —р-термом. Вероятность в этом случае определяется функциями P{(cos0) н P\(cos6). Подставляя
214
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
