Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
?)(со *k)(m) группы
§ 98. Копредставления группы козвезда класса II и общая теория
Прежде чем перейти к анализу этого н!иболее важного случая, рассмотрим сначала структуру звезды. Для волновых векторов класса II из (96.36) звезда *к уже содержит вектор —k, но k и —к неэквивалентны. Тогда унитарную пространственную
Симметриям классическая динамика решетки
271
группу можно представить в виде разложения
© = ©(*) + {ф5|та}©(*)+ .... (98.1)
где | tj} — элемент смежного класса, поворотная часть которого удовлетворяет условию
Фэ • k = — k -)- 2яВн, (98.2)
Очевидно, число векторов в *k в этом случае четно и число положительных волновых векторов равно s/2. Таким образом, *k — *—k. Для любого пространственного элемента {qv|Ts/}’ переводящего k в волновой вектор, эквивалентный — k, поворотную часть можно записать в виде
Фа' = Фа • (98.3)
где фг — поворотная часть элемента группы © (k). Тогда оказывается, что (ф^1 • фг) оставляет k инвариантным и должно содержаться в ®(fe). Для пространственно-временной группы 3 тогда имеем
3 =*=©(*) +Я {<рв|т0} О (*) + .... (98.4)
Отсюда мы можем определить пространственно-временную
группу волнового вектора как
9Щ = ®(Ь) + К{ Фа|та}®(*)+ •••• (98-5)
Соотношение (98.5) определяет группу с антиунитарными элементами. Удобно определить неприводимые представления группы 3(h) и получить из них неприводимые копредставления группы 3. При этом следует отметить, что не все пространственные группы имеют волновые векторы гласса II: для этого нужно, чтобы была операция {фэ | тд), поворотная часть которой дает волновой вектор k (98.2).
Заметим, что при разложении 3 по элементам смежных классов группы 3 (k) элементами смежных классов являются только унитарные операторы:
$ = $(k)+ ... +{фа|тв}9(*)+ ... +{Ф,К}^(А). (98.6)
Соотношение (98.6) весьма полезно для построения индуцированных "представлений группы & по представлениям S?(k). Этот последний этап построения индуцированных представлений такай же как для обсуждавшегося чисто унитарного случая.
Рассмотрим теперь группу S(k). Найдем ее неприводимые представления и используем для этого обобщенную процедуру. Рассмотрим структуру выражения (98.5) [см. формулы (95.8)—*
272
Глава 9
(95.35)], которое можно сокращенно записать в виде
?(*) = © (k) + (ф (k), (98.7)
где
ао = * К I тй}> (98-8)
и а2 — тоже элемент группы © (Аг). Пусть у нас имеется пространство являющееся базисом неприводимых допу-
стимых представлений группы ®(Аг). Рассмотрим про-
странство й02(*,(т>. Из обычного свойства унитарного оператора и2(*) (m> ^ S(*) (т)д(*) (т) до
следует
и • a02w (m) = a0 • clq'u • а02(А) (m). (98.10)
Но сопряженный элемент
а~]иа0^и^ (98.11)
тоже является элементом группы ©(ft), и, следовательно, он унитарен. Тогда
и • a02w (т) = a02w (m) • (m) (ua°)\ (98.12)
Набор матриц, имеющих своим базисом
2(со k) („) _ S(*) (m) + a^k) (m)t (98_ J 3)
для унитарного элемента н имеет вид1
(DWM(u) 0 \
D<“> = ( о D«w („«.)•)• <98-14>
Если а — антиунитарный элемент
а = и-а0, (98.15)
то
atk) ш = a0a0“ <m) = «о (2(А) (m)Dw (m) (на“)) =
= а02(А)(т) •Z)(*)(m)(flo'1a)*t (98.16)
или
a • a0S(ft) (m) = и • a0a0S(ft) (m) = S(ft)(m)D,ft) (m) («a0a0) =
= tk) {m)D(k){m) (aa0). (98.17)
При выводе (98.16), (98.17) мы, как и следовало, подставили для а выражение (98.15). Из (98.16), (98.17) мы получаем типичную матрицу для антиунитарного элемента группы &
/ о- D<*><m4aa0)\
Симметрия и классическая динамика решетки
__... , ' --------------------------------------------
273
Легко убедиться в том, что (98.14) и (98.18) удовлетворяют соотношениям (95.10) — (95.13) и, таким образом, являются непредставлениями. Теперь мы займемся свойствами неприводимости представлений (98.14) и (98.18). Здесь можно указать несколько случаев:
Случай A' D(i,<ml(tt)=DW(m>(«“f, (98.19)
Случай В (и) %?)<*><т> («“•)*. (98.20)
Имея в виду (98.19) и( 98.20), убедимся в неприводимости этих представлений с помощью леммы Шура. Пусть М — эрмитова матрица с размерами (2lm-s)\
( т„П m 12П \
М = [ 2 ), (98.21)
\т12И т2211/
где
ni\\ и т22— вещественные числа, П — единичная-матрица
с размерами (Zm • s) X (lm ’ s)¦ (98.22)
Рассмотрим соотношения
MD (и) = D (и) М, (98.23а)
MD (а) — D (а) М* (98.236)
и установим, какая матрица М совместна с этими соотношениями.
В случае когда выполняется (98.20), сразу находим, что D неприводимо. Таким образом, в случае В, когда ограниченные представления неэквивалентны, индуцированные представления фактически неприводимы.
Теперь рассмотрим случай А': здесь ?)(*Нт) и ?)(*) (т) (ма«)* являются эквивалентными представлениями группы ®(k). Тогда существует унитарная матрица р с размерами (lmY.lm), такая, что
p-iD<*>(т) (и) р = D{k) (т) {иа>)\ (98.24)
Подставим
u = a~iiilaQ (98.25)
в выражение (98.24) и возьмем комплексно сопряженное выражение. Тогда имеем
Г1''D{t) ш (оо-'июо)* Р* = Dw {m) (ао2ща%). (98.26)
Подставим (98.24) в левую сторону (98.26) и разложим правую сторону этого равенства, учитывая, что а2 унитарно:
p-l.p-l0W (m) ^ pp. _ D(*) О») (^-2) Dw (m) ^ DW (m) ^ (9^37)
