Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
255
тождественно равна соответствующему характеру с а — 1:
x"iw(Kh,j!y <93-27)
Следовательно, каждый ненулевой элемент в выражении (93.6) с а = 1 будет соответствовать отличному от нуля элементу в выражении (93.16) для каждого о = 2, ... , s. Таким образом, для фиксированного о все суммы равны и
? %ik) (m) ({Фа I та}-’ • {фр I Тр}2. {фа I та}) Ара = (± gp/s, 0). (93.28)
р=1
Поэтому мы можем для удобства рассмотреть случай о = 1. Тогда полученный первоначально Херрингом критерий вещественности для трех возможных случаев имеет вид, аналогичный
(92.43) — (92.45):
Sp
? Х(*)(т)(ЫТр}2)Др1 = ?Р/5 (93.29)
р=1
для потенциально вещественных
?)(**) (т)
для комплексных
I Х(*)(т)({фр|Тр}2 )Др, = 0 (93.30)
1
?)(**) (т) и
Е XW(m) ({фр I Т„}2) ДР1 = - 8p/s (93.31)
для псевдовещественных ?)(**)<«), где
f 1, если • k — — k + 2пВн,
Др1 = ] ’ Я (93.32)
р 0 во всех прочих случаях.
Удобство формул (92.29) — (93.31) состоит в том, что все характеры с точками относятся к единственной группе ©(&). Однако наличие множителя ДР1 дает в (93.32) ограничение, приводящее к затруднению. В любом случае необходимая процедура состоит в применении формул (93.29) — (93.31), так как нам известны таблицы характеров допустимых неприводимых представлений группы ®(k). Однако, хотя формулы (93.29) — (93.31) позволяют установить тип представления ?)(**) <т>, они не даюг возможности определить, в какое неприводимое представление (in) при —k преобразуется данное допустимое представление ?)(**) (ш) ПрИ действии операции обращения времени или оператора комплексного сопряжения К¦ Эта задача решается в § 94.
256
Глава 9
§ 94. Классификация !)(**) <“) с помощью нового критерия вещественности
Критерии (93.29) — (93.31) могут быть прямо использованы в динамике кристаллической решетки для анализа вещественности определенных представлений и проверки того,
являются ли они представлениями, по которым преобразуются фононы. Очевидно, если представление удовлетворяет условию
(93.29), то оно вещественно и может оказаться среди представлений, по которым преобразуются фононы в данном кристалле с симметрией Случай представлений, удовлетворяющих критерию (93.30), нуждается в специальном рассмотрении. Если имеет место (93.30), то представление является комп-
лексным и, согласно анализу § 87—93, в качестве физического неприводимого представления следует взять ?)(**)(«> 0 D^**) <т>*. В этом случае в конкретной задаче динамики решетки происходит удвоение существенного вырождения: от вырождения, обусловленного пространственной группой @ и характеризуемого представлением(т), к вырождению, связанному с пространственно-временной группой симметрии 'З и характеризуемому прямой суммой представлений ?)(**> <m> ®?)(.*) <т>*.
Если представление (т) неприводимо, то тоже
неприводимое представление. Согласно (90.9),
?)(**) (т)* — [)(*-к) (т)) (94.1)
где —неприводимое представление, соответствующее
звезде (*—к). Однако в предыдущих параграфах мы уже определили все неприводимые представления группы @. Поэтому теперь можно классифицировать/)^ -*)(*), т. е. отождествить это представление с одним из ранее найденных.
Следуя работе Фреи [70], будем различать три класса волновых векторов k и звезд *k:
Класс I: k = — k + 2nBH; *k = *—k. (94.2)
Класс II: k Ф — k + 2пВн\ *k = *-k. (94.3)
Класс III: 1гф — к + 2яВн-, *кф*-к. (94.4)
Каждый из этих трех классов I, II, III требует специального рассмотрения на предмет исследования вещественности. Наш последующий анализ отличается от предложенного Фреи.
Для волновых векторов класса I, согласно (94.1), имеем
(т)* = ?){*к) №),
(94.5)
Симметрия и классическая динамика решетки
257
Так как для этого класса —k эквивалентно k, мы можем считать, что представление индуцировано некоторым неприводимым представлением группы ®{k). Тогда, со-
гласно (90.5), в качестве базиса для Dw ^ можно взять
2<*> m — /С2(*) (т)_ (94.6)
Пусть теперь ^{ч>гх | < М} — оператор относящийся к группе ©(&). Тогда
|, <*> = 2<*> m 11 (q,)}). (94.7)
Из (94.6) имеем отношение
3C(ft) (m) 11 fo)}) = 5C(ft) (m) (K11 (Ф)})*, (94.8)
в котором все входящие величины можно взять из таблиц характеров допустимых неприводимых представлений Соответственно для любого волнового вектора класса I прямое сопоставление с таблицами характеров для группы ®(k) позволяет найти представление Важно понимать, что в
принципе следует проверить каждый оператор P{vt | г (<р)} и также соответствующие характеры. Рассмотрим чистую трансляцию {e|^i.} из $. Согласно (94.2),
Класс I: & = яВя. (94.9)
Следовательно,
%W («) ({е I flj) = ехр - ЫВИ • Rl = ± 1. (94.10)
Соответственно выбор из трех случаев (93.29) — (93.31) можно сделать, используя таблицы характеров только элементов групп 5P(ft) или П(&). Заключение о дополнительном вырождении, обусловленном обращением времени, для векторов класса I получается тогда очевидным образом. Если
?)(*)(т) вещественно, то т = т (94.11)
и нет никакого дополнительного вырождения.
Если' -
?)(*)(«) комплексно, то тфЯг (94.12)
и ?)(*)(т> и ?)(*)(*) объединяются. В случае (94.12) допустимыми физическими неприводимыми представлениями для фононов являются представления ?)(*)(m), очевидно имеющие удвоенную размерность по отношению к Это практически
