Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Предвидя результат и используя скалярное произведение
(79.10), возьмем в качестве условия ортогональности для бло-ховских собственных векторов при заданном ft следующее соотношение:
Мы также воспользовались здесь приведенным ниже выражением (88.37). При этом левая сторона уравнения (88.32) принимает вид
Так как вещественные собственные значения [D(k)] и [D(—ft)] = [D(*)]‘ одинаковы, то независимо от порядка сомножителей мы можем положить
если
вещественно, то S(k) = n3r, (88.29)
[D(- ft)] = Е (ft)* A (ft) Е (ft).
(88.30)
вГ«' /W(ft + *')6/7Air (88-33)
е
(88.34)
со2 (ft | /) = со2 (— ft | /)
(88.35)
Симметрия и классическая динамика решетки
239
и затем
или
<(х|*) = ев(и| _А) (88.36)
Ч|?МЮ-(1г‘)- (88'37)
Следует указать, что в книге [5] [стр. 174, уравнение (49.4)] Либфрид уже использовал соотношения типа (88.37) в отсутствие вырождения (/; = 1 или lj= 1) и брал
е* (| у ) = — е( | /)' (Либфрид)
Формула Либфрида согласуется с нашей благодаря выбранной нами форме соотношений ортогональности (88.33). При этом
(88.37) оказывается справедливым и в отсутствие вырождения. Отметим, что, вообще говоря, |ри jK в (88.36) различны; их связь будет установлена в уравнении (94.22) и в последующем рассмотрении, а также в § 95—100.
Возвращаясь к зависящим от времени собственным векторам (88.16), имеем
*№-( 7.‘Н-
(88.38)
Следовательно, оператор преобразования К преобразует собственный вектор, соответствующий смещению с волновым вектором k в момент времени i, в собственный вектор, соответствующий смещению с волновым вектором —k в момент времени —t.
Поэтому можно назвать собственный вектор /(в щенным во времени или обращенным по движению
(I!. ¦)
обра-
4з (88.37),
(88.35), (88.20) находим, что не зависящие от времени собственные векторы е[ . ) и е*| _ I относятся к вырожденному соб-
' ' ^ ' \ I ip, J
ственному состоянию. Поэтому даже для не зависящих от вре-
*(\k \
мени собственных векторов е ^|_ J можно употреблять термин
«обращенные во времени».
Аналогично тому как мы поступали с оператором пространственных преобразований Р{Ф |ц, можно определить действие
240
Глава 9
К на комплексную нормальную координату . J [см. (88.37)]:
4,‘)-0=<3(г,‘) <8М9)
Заметим также, что (88.39) можно получить прямым применением К к выражению (86.2) с использованием (88.37). Снова от-
метим, что точное соотношение между индексами jv и Д нуждается в определении и будет обсуждаться ниже.
§ 89. Полная пространственно-временная группа 3
Вернемся к рассмотрению матрицы силовых постоянных [Ф] из § 71. Напомним свойство инвариантности [Ф] по отношению к преобразованиям общей пространственной симметрии:
ЛфМ)[Ф]Р{фЬ) = [Ф]. (89.1)
В предыдущем параграфе мы сформулировали также правило инвариантности по отношению к обращению времени:
/С[Ф]/Г' = [Ф]. (89.2)
Следовательно, полная группа симметрии потенциальной энергии V и кинетической энергии Т, гамильтониана Н и, следовательно, кристалла, состоит из суммы кристаллической пространственной группы ® и смежного класса К®:
3 = ® + К®. (89.3)
Мы будем называть 'З полной пространственно-временной группой симметрии кристалла.
Обратимся теперь к рассмотрению динамической матрицы Из (81.26) мы имеем для оператора преобразования, соответствующего пространственной симметрии,
Р{ч | г <ф)) [D (ft)] P(<f | t (ф>) = [О (ф • ft)]- (89.4)
Чтобы вывести (88.13), (88.14), можно использовать (81.23), определение К в (88.1) — (88.4) и свойство (88.7). Тогда
К10(к)]К~1 = КР{,г)1МГ'к[Ф(0)] [МГЪК~1. (89.5)
Но
KPW = /с ? ехр ik ¦ | _^} =
Л
= I ехр - ik • • Р(е | _* }к = Р^к. (89.6)
К
Симметрия и классическая динамика решетки
241
Так как [Ф(0)] и [Л1]‘ ’Vj вещественны, окончательно имеем
K[D(k)]K~l = [D (-*)]. (89.7)
Вследствие антилинейности и антиунитарности оператора К его обычно рассматривают отдельно от операторов пространственной симметрии. Эта возможность видна в (89.7) и (88.37), так как К обращает волновой вектор k. Однако если k — волновой вектор в зоне Бриллюэна, то и —k относится к этой же зоне. Таким образом, в указанном смысле К устанавливает соотношение между волновыми векторами, которые могут быть либо связаны, либо не связаны оператором Р{<р|<}. При таком подходе К имеет смысл дополнительной операции симметрии, не включенной в группу пространственной симметрии Поэтому можно развить единый подход, при котором все операторы рассматриваются на равных основаниях. Такой подход сформулирован ниже в § 95—102.
(\k\
§ 90. Собственные векторы е ^ J . J
и нормальные координаты ) как базис представлений
группы ^
Чтобы рассмотреть достаточно полно действие оператора К, нужно работать с набором неприводимых представлений ?)(*а) (т) полной пространственной группы. В § 77—86 мы ограничились рассмотрением только допустимых неприводимых представлений ?)(*Нт) группы ®(k) и полный набор ?)(**) (ш) был получен индукцией из )m. Но оператор К не является линейным оператором типа Р{Ф | ty Поэтому нужно проявлять некоторую осторожность при анализе результатов, полученных из-за наличия оператора К среди операторов симметрии задачи.
