Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Возвращаясь к рассмотрению полной пространственно-временной группы $ из § 89, мы видим, что 3? определена в (89.3) как ^ = © + № через пространственные унитарные операторы преобразований Р(<р|<) группы © и антиунита.рные операторы
Симметрия и классическая динамика решетки
261
KP{nt) смежного класса К®. Чтобы получить существенно вырождение в системе, для которой 3 является группой симметрии, нужно исследовать инвариантное и неприводимое векторное пространство, точнее, минимальное инвариантное линейное векторное пространство, образованное собственными векторами, или нормальными координатами физической задачи динамики решетки. Пусть — инвариантное неприводимое физическое пространство. Тогда операторы группы 3 будут преобразовывать базисные векторы S;/) друг через друга. Пусть
S(i)^{e .... ...}. (95.1)
Преобразование S(l"> в само себя определяется матрицей DW в обычном смысле. Следует помнить, однако, об антиунитарной природе операторов в К®. Назовем Z)C°W> систему неприводимых матриц, с помощью которых преобразуется неприводимое инвариантное пространство SW>. Тогда имеем
Р{, | flSU) = S^DM </> ({ср | /}), (95.2)
КР{ч | = S</)D<“) W) (К {<р | /}). (95.3)
Последовательное применение двух таких операторов к про-
странству S</> дает
Р& I Л, I «S(/) = ¦S,/,^(co) (/) ({ф2! Ч DM </> «Ф, | #1» =
= S(/»Z>(co) (У) ((Ур21 #а} . {q,, | #1» (95.4)
и
I « • КР[Ъ I « • 5(Л = S(/)^(co) (Л ({ф21 #2» DM «> (/с {ф, I *,}) =
= SC/)Z>(eo) (Л ({ф2112} К {ф! | #!». (95.5)
Подставляя (88.4), получаем
№* I «) Р{Ф, = SW>D(co) (/) (/С {ф2 | #„}) . D(co) (/) ({ф1 | tl)y _
= S(flz>(со) (/) (/с {ф21 ^ . {ф1 (95.6)
и 1
да* I«) да,, I«) sw> - smM </) (/с {ф21 /2». dm ш ({ф11 #1})*=
= SU)DM (У) (К {ф2112} . {ф11 /,}). (95.J)
Чтобы подчеркнуть важную роль соотношений (95.4) — (95.7),
мы введем сокращенное обозначение для унитарных элементов группы ©
РЫ'ц}—(95,8) и для антиунитарных элементов группы К®
Ни)555 а,*‘ (95.9)
262
Глава 9
Тогда матричное умножение в (95.4) — (95.7) можно записать так:
D («2) D (щ) = D (u2«i)> (95.10)
D («г) D (di) = D («2<Zi)> (95.11)
D (а2) D («,)* = D (а2щ), (95.12)
DiadDfaY^Dla&i), . (95.13)
где D обозначает матрицу копредставления. 1
Суть теории копредставлений состоит в том, что определение неэквивалентных неприводимых представлений пространственно-временной группы & дает полное решение задачи о существенном вырождении в динамике решетки. Из (95.13) следует, что обратные элементы в этом случае обладают некоторой особенностью, которая видна, если взять а1 =-а~и, тогда получим
D (а2) D (а-1)' = D (а2а~») = D (е). (95.14)
Из (95.14) следует
D(a2)~1 = D(a^i)\ (95.15)
Следует напомнить, однако, что матрицы копредставлений,
удовлетворяющие (95.10) — (95.15), унитарны из-за конечности
пространственно-временной группы Отсюда
D (а2)~1 = D (а2)+ = D (а2)* (95.16)
или с учетом (95.15)
D(a~l) = D(a2). (95.17)
Совокупность матриц ?)(«ц), ^5(ац) соответствует набору элементов в но это соответствие не означает, что группа матриц Z)(co> гомоморфна группе операторов *&, Пусть ^ состоит из совокупности унитарных и антиунитарных операторов:
= {а} = {KPRY, (95.18)
тогда существует совокупность матриц ?><со), по одной для каждого оператора, находящаяся в следующем соответствии с (S\
?>(с0) К) =*- %, (95.19)
?><со> (aj => а„ - (95.20)
и удовлетворяющая правилам умножения (95.10) — (95.13). Эта совокупность матриц определяет полулинейное представление группы *§. Термин «полулинейное» существует в математической литературе [72], но Вигнер предпочел ему термин копредставле-ние [1], который и укоренился в физической литературе для обозначения матриц со свойствами (95.1Q) — (95.13). Таким обра-
Симметрия и классическая динамика решетки
263
зом, эти соотношения определяют копредставления группы4^.
Теперь полезно привести модифицированную лемму Шура, пригодную для копредставлений. Пусть S(/) — неприводимое пространство (95.1). Пусть S/(/) —неприводимое пространство, эквивалентное S(/). Другими словами, пусть S'(/) линейно связано с S(/) с помощью матрицы унитарного-преобразования V. Для векторов в S/(/) имеем
№ = (95.21)
Р
ИЛИ
S'</> = VS"\ (95.22)
Тогда из (95.2), (95.3), (95.8), (95.9) и (95.21) следует
иХф = § УцА’Ч=? у» S о,» К) =
= Е F,. Z D* (»„) Е = Е (Е Е (*„) ке„) *;</>
(95.23)
и
aXU) = V^} = ? =
- z Па х: d (an)Yp z =? (Z z ю
(95.24)
или
Ve,= ?D'(“>.)»4>i,'>. (95.25)
S*iw”?c'(‘V)i«*iw. <9526>
Очевидно, D и D' являются эквивалентными представлениями.
Они связаны соотношениями
D'(uv}=V-iD(uv)Vf (95.27)
D'iaJ^V-'DiaJV. (95.28)
Будем считать (95.27) и (95.28) определением эквивалентных
копредставлений. Отметим, что в (95.28) входит комплексное со* пряжение.
Обобщенная лемма Шура учитывает наличие этого комплексного сопряжения в (95.28). Таким образом, пусть D(,) и D(/)—два неприводимых копредставления группы. Пусть М — эрмитова матрица, удовлетворяющая соотношениям
MDW (Иц) = ?)<*> (иц) М, (95.29)
Ж><‘>(а^ = .0</>(<длГ,. ' <95-30)
264
Глава 9
Тогда либо
.М = 0 (нулевая матрица) и D{i) не эквивалентно (95.31) либо
