Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
М~1 существует и D{i) эквивалентно D(l\ (95.32)
Кроме того, если — неприводимое представление и существует такая эрмитова матрица М, что
MDW (и) = DW (и) М, (95.33)
MDW(a) = D«Ha)M*, (95.34)
то
М — постоянная матрица. (95.35)
Как показал Диммок [73], существенно выбирать М в виде эрмитовой матрицы. Другие авторы [1] не отмечали ^того обстоятельства.
В следующем параграфе мы продолжим исследование структуры матриц копредставлений группы 3. Будут выявлены некоторые существенные отличия от матриц обычных представлений. Мы будем различать случай, когда обращение времени приводит к «глобальному» вырождению, и случай, когда возникает
«локальное» дополнительное вырождение. Последнее происходит в точках достаточно высокой симметрии, например когда ¦—k относится к звезде к или когда —к просто эквивалентно к.
Мы введем понятие козвезды со k; 'тогда снова можно разделить волновые векторы на три класса аналогично § 94. Как и в § 36, мы установим структуру матриц индуцированных представлений, приводя их к блочному виду. Исследование этого вопроса показывает, что в наиболее интересном случае мы должны рассматривать неприводимые проективные представления некоторой точечной группы, изоморфной факторгруппе 31%. В этом и состоит самое главное отличие от предыдущего рассмотрения, где возникала факторгруппа ©/?. Затем мы определим систему факторов и установим отличие от случая обычных проективных представлений.
§ 96. Структура копредставлений группы 3\ козвезда co*k
Пространственно-временную группу 3 можно записать, согласно (89.3), в виде
3 = ® + т. (96.1)
Так как ® имеет нормальный делитель $, очевидно, $? является и нормальной подгруппой группы 3. Отсюда следует, что пространственно-временную точечную группу пространственко-рремен-
Симметрия и классическая динамика решетки
265
ной группы $ можно представить в виде
= (96.2)
где для & имеем
& = sp + к$. . (96.3)
Очевидно, что группа содержит унитарные и антиунитарныё элементы. Чтобы продвинуться дальше, построим нормальную подгруппу
Г^% + КЪ, (96-. 4)
состоящую из унитарных и антиунитарных трансляций. Так как К коммутирует с элементами X, то обе группы ? и ?Г являются нормальными подгруппами
Мы начнем исследование неприводимых представлений группы 3 с приведения ?Г. Ясно, что приведение (аналогично § 29) могут осуществлять блоховские векторы. Тогда
Р{, | = DW ({е | = (exp - ik • Rl) fW. (96.5)
Блоховские векторы определяют также неприводимое пространство для группы ?Г. Поскольку К?к) — то
К • Ppi = КР{гirl) • К • W* = DW ({г | K?k) =
= ?)<“*» ({е | Jfi>) (96.6)
где мы воспользовались соотношением
/)(*>* = ?)(-*>. (96.7)
Соответственно Разумеется, это соотношение вы-
полняется только для индекса, являющегося волновым вектором к. Как было показано в § 87—94, в общем случае следует положить
#ф<*> <«> = <й>, (96.8)
где индексы (in, а) подлежат определению. Таким образом, ан-тиунитарный оператор К переводит k в —k, но его действие на другие индексы, характеризующие поведение базиса при применении операторов группы 3, должно быть исследовано дополнительно.
Представляется полезным в качестве простого введения в теорию копредставлений обсудить неприводимые копредставле-ния группы ?Г, используя метод индукции из группы Пусть вектор образует неприводимое пространство для Чтобы получить неприводимое пространство для ?Г, мы должны включить еще пространство К Рассмотрим теперь
пространство представления, образованное двумя функциями:
Глава 9
(96.9)
В этом пространстве унитарные операторы записываются в виде
где мы воспользовались (96.7). Антиунитарные операторы можно представить следующим образом:
В (96.10) и (96.11) мы не выписываем (очевидных) аргументов матриц. Легко проверить, что (96.10) и (96.11) удовлетворяют (95.10) — (95.13). Следовательно, (96.10), (96,11) определяют копредставления пространственно-временной группы .
Мы проверим свойство неприводимости (96.10) и (96.11) с помощью леммы Шура аналогично рассмотрению (95.33) — (95.35). Пусть
(96.10)
(96.11)
(96.12)
является эрмитовой матрицей, так что
т11~тц> т22 т22' т12 т21'
(96.13)
Из
мы находим
МГ)({8|^}) = 0{е|^})М
mi2D<-fc> = m12D(«
(96.14)
(96.15)
Следовательно, либо
ДИ Э /)(-*) и /7^2^ 0,
(96.16)
либо
/><*) % ?>(-*> и т, 2 = 0.
(96.17)
Если имеет место (96.16), то
й= —й + 2 яВн и т12ф0.
(96.18)
Если имеет место (96.17), то
k=?—й + 2 пВн и mi2 = 0.
(96.19)
Из соотношения
Симметрия и классическая динамика решетки
267
имеем
m„D<*> = m22DW (96.21)
mI2D<-*> = m12D<*>. (96.22)
Очевидно, (96.22) выполняется тривиально как для (96.18), так
и для (96.19). Из (96.21) и (96.13) следует
тп = т22 = т, (96.23)
где т — вещественная константа.
Когда применимо (96.19), имеем
M = (96.24)
В этом случае D неприводимо. В случае когда применимо
(96.18), имеем
(т т,2\
= ( , ). (96.25)
\т,0 т J '
М
\ti-l2
Так как эта матрица не является константой, то D приводимо.
Итак, если k не эквивалентно — k, то неприводимое ко-представление группы Т равно
/D<*> 0 \
0 D(_ft)J (96.26)
