Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
?)(**) Ш0 ?)(**) от (91.13)
которая и представляет собой в этом случае вещественное неприводимое представление группы
Если имеет место соотношение (9.12), то учет симметрии обращения времени не меняет результатов анализа, основанного на учете чисто пространственной группы симметрии В случае когда имеет место (91.13), из-за учета оператора обращения времени К происходит удвоение вырождения.
Следовательно, чтобы узнать, увеличивается ли кратность вырождения при учете полной группы симметрии очень важно исследовать вещественность неприводимых представлений группы S’. К этому вопросу мы еще вернемся.
Следует сделать еще одно, последнее замечание. Очевидно, весь предшествующий анализ просто устанавливает необходимые условия вещественности представлений, по которым преобразуется либо пространство собственных векторов, либо пространство нормальных координат. Таким образом, если существует представление группы 3, по которому преобразуется пространство собственных векторов или нормальных координат колебаний, то оно должно иметь физический смысл. Обратное утверждение неверно: при заданной пространственно-временной группе 3 не все неприводимые представления группы, имеющие физический смысл, встречаются в динамике решетки. Определение таких физических неприводимых представлений для конкретных кристаллов рассматривается в § 103.
§ 92. Критерий вещественности представлений
группы ©
Как было отмечено в предыдущем параграфе, вопрос о существенном вырождении при наличии группы $ непосредственно связан с вещественностью представлений D(**) (/) группы пространственной симметрии @ кристалла. В этом параграфе мы построим теорию, которая позволяет установить критерий вещественности Предположим, что все неприводимые представления пространственной группы ® известны. Тогда
ясно, что если допустимое малое неприводимое представление ?)(*)(т) группы ®{k) вещественно, то и индуцированное представление (m) группы © тоже вещественно. Это достаточное условие вещественности, которое в действительности является
246
Глава 9
слишком сильным. Из него следует, что
Ш ({ф^ | *}) = <«) ({<р,х | /})* (92.1)
для всех элементов {ф;л|*} группы ®{k). Однако, как будет показано ниже, даже при
%т (щ) | /j) ф х<*> м | (92.2)
представление ?)(**) <т> может быть вещественным.
Чтобы исследовать этот вопрос достаточно полно, необходимо вообще говоря, изучить неприводимые представления полной группы. Тогда после соответствующего анализа оказывается, что вопрос сводится к изучению неприводимых представлений Q(k)(m) группЬГ ®(k).
В задаче динамики решетки мы имеем дело только с представлениями простой группы ©, так что все сложности, связанные с учетом спина, можно опустить. Из этого, в частности, следует, что
если д(**) <т'= /)(**) (т)*>
/* ^ (92.3)
то D' к>(т) можно сделать вещественным.
Обсудим теперь подробно критерий вещественности, который можно применить к неприводимым представлениям ?>(**)(т) группы ©.
В этом рассмотрении существенную роль играет матрица
М(*А) (т) == ? ?)(**) (т) ({ф I t}2). (92.4)
©
Матрица (т) из (92.4) является суммой по всем элементам
{ф | <} группы © матриц, представляющих элементы
{ф I *}2 = {ф21 ф • t + *} (92.5)
в неприводимом представлении ?>(**) <т). Во-первых, легко видеть, что коммутирует со всеми матрицами
¦k)(m) неприводимого представления. Пусть {фо|<о}— произвольный элемент группы тогда сопряженный элемент можно определить как
{фо I *о} • {ф I /} • {фо I М_' = {ф I tf. (92.6)
Следовательно,
?(**) <«) ({ф01 tQ}) • М(**> (“> = Е й(*а) <т) ({ф I *Г° • {ф 1/}° • {фо | /о}) =
©
= (Z /)(**} (т) «Ф11}~° • {ф I Щ • Д(*А) <т) ({фо I /о}) =
= Mi*») (">/)(**) («) ({ф01 /„}). (92.7)
Симметрия и классическая динамика решетки
247
Заметим, что сумма в больших скобках равна из
свойства инвариантности суммы, взятой по всей группе [1,50], имеем
Е= Е • (92.8)
© {Фо |<о)-©ч<Ро I ад-1
Уравнения (92.8) выражают инвариантность суммы по группе по отношению к внутренним автоморфизмам, т. е. сумма берется по всем элементам группы независимо от того, называются ли
они {(ро|М или {(р[0°-
Так как (92.7) имеет место для всех элементов {ф0|*о} в @, мы можем применить лемму Шура и заключить, что
/М(**><т) = ц(**)(т)Пт.5, (92.9)
где Пm — единичная матрица с размерами (s-lm), а ц(**) (">>—
константа. Взяв (а, |3)-матричный элемент (92.9), имеем
(Af(**) (m))«p = ц(*4) (m)6ai3. (92.10)
Полагая a = p и суммируя, получим
Sp <«> = X х(*А) (т) ({Ф| t}2) = ц(**) <*> (s • lm). (92.11)
©
Следующей задачей является определение возможных значений которые возникают в каждом конкретном случае
для вещественного представления
?)(**) (tn)'
Рассмотрим сначала случай, когда и ?)(**)(т)* неэк-
вивалентны. Соотношение ортогональности для неэквивалентных неприводимых представлений имеет тогда вид
? ?>(**) (т) ({ф | (/)(**) (ш) ({ф | *})*)* = 0, (92.12)
&
ИЛИ
I D^k) <«> ({ф 11}\% ?>(**) («) ({ф| *)}т, = 0. (92.13)
©
Суммируя (92.13) по t и ц, получим
Ех(**(т)({ф !*})2 = 0, если (92.14)
©
Отсюда видно, что в (92.11) для неэквивалентных представлений
