Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 82

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 127 >> Следующая

тить, что такое упрощение возможно потому, что по структуре I)(**)(«> является индуцированным представлением, построенным на представлении группы ®(k). Однако, как уже отмеча-
лось ранее, в этом параграфе мы не могли заранее ограничиться только группой @(fe). Подробное исследование критериев
(92.43) — (92.45) показывает, что можно дать более жесткий и более удобный критерий вещественности представлений. Этот вопрос обсуждается в § 93, 94.
§ 93. Упрощенный критерий вещественности для
Некоторое упрощение критериев вещественности (92.43) —
(92.45), предложенное Херрингом [69], может быть получено с помощью выражения (37.3) для характеров, входящих в эти критерии. При этом характеры выражаются через характеры «с точками», относящиеся к группе ®{k). Для элемента симметрии,
252
Глава 9
являющегося аргументом в (92.43) — (92.45), можно написать
{ф | о = (фр I ХР + Rl) = (81 Яд} • (фр I тр}- (93.1)
Тогда
(ф 11Y = {81 Rl) * (фР I тр) * (81 Rl) • (фр I ТЛ =
= {е | Лл} • (ФРI • {е | • {<рр | хр}~1 • {фр | хр}2 =
= {81 Rl + Фр ' Rl) ' (фр I тр)2- (93.2)
Из (37.3) мы видим, что требуется еще выражение для сопряженного элемента
(фа I таГ' • (81 Rl + Фр • Rl.> • {фр I xPf • (фп I т0) =
= {фа I Ха) • {8 I Rl + Фр • Rl) • {фа I Т<Л ' {фа I ха) 1 {фр I х pf' {фр i хр) = = {8 I Фа"1 • Rl + ’ Фр • Rl) • {% I ТаГ‘ ’ {фр I X pf ' {% I Ta}- (93‘3)
Тогда (37.3) принимает вид
х(**)(т)({ф102) =
= t {m) ({8 I ф a ' A + 4>a 1 ' Фр • • {Фа I M"’ {фр | X pf' {% | *„})•
(93.4)
Мы видим, что структура аргумента в (93.4) представляет собой произведение чисто трансляционного элемента на поворот. Но характер с точкой в (93.4) будет отличен от нуля только в том случае, если выполнено условие (37.2). Это условие наложено на поворот, т. е. на второй множитель в (93.4). Условие состоит в том, что
{фа I хо}~~1 • {фр I xpf • {фр I хо) относится к © (k), (93.5)
или, иначе,
%1 * Фр * Фа * k =*k + 2яВя. (93.6)
Из (93.6) следует
Фр • Фа • k = Ф<т • k + 2пВн> (93.7)
или
Ф 1-К = кв + 2яВ'н. (93.8)
Тогда, если (93.5) выполняется для фиксированного р и заданного ст, мы можем выписать в характере с точкой сомножитель, соответствующий чистой трансляции в виде
ехр - ik (ф-1 • Rl + ф-1 . фр • Rl) =
= ехр- /(ф0 • k. Rl + ф;1 • фа • k • Rl) =
= exp-t(ka + <?;'-ka)'RL. (93.9)
Симметрия и классическая динамика решетки
253
2 (exp - i (ka + ф;1 • ka) Rl) = |
Отсюда для (93.4) имеем
х(**) с») | ху) = ? ехр _ i ^ + ф»1 . ^ х
X *<*>(m) ({фа I Та}-1 • {<РР I тр}2 . {фа | Та}). (93.10)
Теперь возвратимся к (92.43) — (92.45). Сумму по всем эле-
ментам группы © запишем в виде
gp N
2 = 12. (93.li)
® V L
Здесь сумма по р берется по всем наборам элементов смежных классов в группе ©/?, а суммирование по L идет по всем трансляциям в St. Сначала вычислим сумму по % при фиксированном
Р-
0 при ki + ф-1 • ka ф 2лВн,
N при ka + ф-,Аа = 2яВн.
(93.12)
Следовательно, сумма (93.12) отлична от нуля, если
Фр • k— — fta + 2пВн. (93.13)
Очевидно, если выполнено условие (93.13), то будут удовлетворены и (93.7) и (93.8). Следовательно, (93.13) более сильное условие.
Резюмируя, видим, что мы исследуем представление ?)(**) <т>, для которого, как обычно, некоторый волновой вектор k выбран в качестве канонического вектора. Индекс а; представителя смежного класса фиксирован, как это указано в (36.2). Индекс р произволен и пробегает значения, соответствующие любым представителям смежных классов в группе ©. Тогда для фиксированного k и соответствующего набора а вклад в сумму в
(93.11) дают только те представители смежных классов с индексом р, для которых применимо (93.13). Тогда из (93.11) получим в зависимости от рассматриваемого случая
2%(**)<т) ({ф I т}2) =
©
= ^2 2х(Жт)({фаКГ‘ • {фр! Тр}2- {Фа|та})ЛРа= (±Ngp,0).
а~1 р=I
(93.14)
В (93.14)
f 1, если фр-Л0=х-Ла + 2яВн, р0 1 0 во всех прочих случаях.
254
Глава 9
Отсюда в зависимости от рассматриваемого случая имеем
i ?x(‘)(m)({q>alta}-i-{q)p|tp}2.{(pa|ta})V = (±grp,0). (93.16)
а-= 1 р = 1
Теперь покажем, что каждое слагаемое в сумме по о в
(93.16) дает одинаковый вклад в результат. Это значит, что каждое о соответствует лучу звезды *k и все лучи звезды дают одинаковый вклад в сумму. Рассмотрим а = 1 и выпишем тех представителей смежных классов {фР|тр}, для которых APl=l:
|фг |t-l, где (р;- • k = — k + 2пВн, (93.17)
Тогда
{ф/ |T/J2 принадлежит ©(&). (93.18)
Вообще говоря, любое выбранное значение
*(‘)(m)({\l\F) (93Л9)
может быть либо равно, либо не равно нулю. Однако если имеется по крайней мере один характер типа (93.19), отличный от нуля, то
Ф; • Фо 1 • Фа • * = — Фа 1 • фа • * + 2яЯя (93.20)
А
(Фа • % ¦%1)'ко=-К + 2пВН- (93-21)
Назовем
ф' ==ф -ф • ф"1; (93.22)
1К а 1к а
тогда
(V у == Фо • ф2 .ф->. (93.23)
V h 0
Элемент, соответствующий (92.23);
КI *.} ¦ {% J \ Г' hi W' - {*'h I \}! <93-24>
принадлежит ®(ka), а элемент
<93-25)
принадлежит ©(?). Возвращаясь к (93.16), мы видим, что величина
*'*'« ({<р„ I • К I ¦ {*. I*„» «>3-26>
Симметрия и классическая динамика решетки
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed