Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
важный случай, так как он соответствует локальному удвоению степени вырождения по ^отношению к вырождению, обусловленному чисто пространственной группой ®,
258
Глава 9
Рассмотрим теперь волновые векторы класса II. В этом случае —ft относится к звезде *ft, но неэквивалентно ft. Поэтому в отличие от предыдущего случая не очевидно, что для определения типа представлений достаточно прямо использовать таблицы характеров малой группы sp(ft) или II(ft). Однако мы можем показать, что и в этом случае с помощью только этих таблиц можно сделать определенное заключение. Но сначала мы напомним общие принципы, по которым устанавливается соотношение между группой и представлениями в точках ft и —ft. Рассмотрим представитель смежного класса Для которого
<p3.ft=-ft + 2 пВн. (94.13)
Тогда можно разложить полную пространственную группу © на смежные классы по ©(ft), где представитель смежных классов имеет значок с чертой либо без черты:
@ = ©(ft)+{<pe|t3}@(ft)+ ... +KK}@(ft)+ .... (94.14)
Элементы со значком без черты переводят ft не в —ft, а в некоторый другой вектор в *k. Группа @(—ft) равна
© (— к) = (ф# | т3 }-* © (ft) {% j т3}. (94.15)
Аргументация § 91—93 с очевидностью показывает, что можно установить связь между разными характерами. Таким образом, характер
зс<*)(т)(ЫтЛ) (94.:16)
неприводимого представления для оператора P{<t\X) вы-
числяется в пространстве 21*)<т>. Преобразуем теперь это пространство, используя представителей смежных классов, имеющих значок с чертой:
{% | ха) (m). (94.17)
Выражение в правой части равенства (94.17) записано в соответствии с содержащимся в (35.3) утверждением, что чисто пространственное преобразование сохраняет индекс т. Но элемент
Р{*31 -3}Л |'(} Ы~1гЕЕ Р{41 м3 (94.18)
имеет характер, вычисленный в пространстве (94.17):
Х<-*>(и)({Ф/|т*}в). . (94.19)
Тогда с учетом (94.18) и (94.17) имеем
»-*> т (fa | Ti}3) - х{к) т (ib I *<}). (94.20)
Симметрия и классическая динамика решетки
259
Следует иметь в виду, что характеры (94.16) и (94.19) возникают как отдельные компоненты выражения (49.3), в котором для получения полного характера пространственной группы для элемента {ф(|т/} нужно выполнить в соответствии с (94.14) суммирование по а и а :
х(*‘)(-)({фг|тЛ) = 7^Х^>(т)(^|т°>"! ^1М{ф0|т0}). (94.21)
о, а
Следовательно, (94.16) и (94.19) являются «частями» для одного и того же неприводимого представления пространственной группы
?)(**) (т).
Рассмотрим теперь пространство, получаемое обращением во времени пространства 2
K2{k) {m) — E(ft) (m)* = 2{~k) m, (94.22)
и пространство, полученное в результате пространственного преобразования (94.22):
{фв|т5}К1(Л)(т) = {фв|тв}2(~*)(,п) = 2(Л)('"). (94.23)
Правая сторона (94.23) снова получается на основании содержащегося в (35.3) условия сохранения индекса т. Следует опять отметить, что всегда можно взять аналогично (35.3)
Р{Фр f tp|2(ft) {т) = 2<‘р) {т\ (94.24)
где индекс т в обеих сторонах равенства (94.24) одинаков; но для антилинейного оператора К, действующего в векторном пространстве, мы должны пользоваться соотношением
^2<а)Ст) = 2(-*)(ад (94.25)
где правило определения т будет получено ниже.
Характер элемента действующего на базисные
функции (линейного векторного пространства) (94.20), равен
{т) (Ь I т,}8)*« im) (foz I т,}). (94.26)
Соотношение (94.26) позволяет полностью определить индекс т комплексно сопряженного представления и пространства по таблицам представлений D(k) (у) группы © (Л), что полностью решает задачу в этом случае. Соотношение (96.26) оказывается более сильным, чем формула Херринга (93.29), (93.30), так как оно не -только классифицирует представления, но и устанавливает связв индексов т и т для комплексно сопряженных представлений. Сопоставление (94.26)> и (94.13) для выяснения того, реали--зуется ли равенство т — т, в этом случае служит проверкой
260
Глава 9
для (93.29) и (93.30). Для волновых векторов, относящихся к классу II, мы можем снова получить несколько следствий:
т = т дополнительного вырождения нет, (94.27)
тф т (m) и т объединяются. (94.28)
В случае (94.28) мы снова имеем локальное удвоение по сравнению с результатом для одной группы ®. Заметим, что (94.26) особенно удобно потому, что все входящие в него величины определяются для одной группы ©(?).
Наконец, для волновых векторов класса III с очевидностью следует
0(*ь)шщ0(*ь)т. (94.29)
Следовательно, полные представления ?)(**) и ?)(*-*)№ должны рассматриваться вместе как одно представление. Такое удвоение является «глобальным»; оно отличается от «локального» объединения представлений при заданном волновом векторе k. Существенное вырождение в этом случае связано с удвоением числа представлений полной пространственной группы за'счет учета пространственно-временной группы 3.
Этим заканчивается наш обзор различных типов неприводимых представлений группы ® как возможных физических неприводимых представлений группы 3 для фононов.
§ 95. Физические неприводимые представления группы © как копредставления группы ^
В нескольких следующих параграфах мы покажем, как перестроить предшествующий анализ так, чтобы оператор обращения времени К рассматривался на равных правах с пространственным оператором PR группы @. Это можно сделать методом так называемых копредставлений пространственно-временной группы S’. Излагаемая ниже теория копредставлений существенно отличается от ранее рассмотренного подхода, где пространственные операторы PR учитывались иначе, чем оператор обращения времени К. Хотя основы теории копредставлений изложены в работе Ш ( глава 26), нам кажется, что в этой монографии целесообразно подробно рассмотреть этот вопрос, имея в виду применения к динамике решетки. Наше изложение несколько перекрывается с работой [1], но мы старались свести перекрытие'к минимуму, необходимому для того, чтобы книга была полной.
