Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 77

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 127 >> Следующая

(88.4)
(88.3)
ft \\* / Пк \\ / /Ift V Л ft W
Симметрия и классическая динамика решетки
235
Тогда по отношению к эрмитову скалярному произведению
(79.8) К является оператором антиунитарного преобразования; К является оператором антиунитарного преобразования также по отношению к эрмитову скалярному произведению (79.9) и
(79.11). Таким образом,
Следует подчеркнуть, что свойства антиунитарности и антилинейности, выраженные соотношениями (88.4) — (88.6), делают оператор К качественно отличным от операторов преобразований P{<t\t), с которыми мы имели дело ранее. В этом мы убедимся сразу же при любых вычислениях и алгебраических выкладках, связанных с этими операторами, и при построении теории копредставлений (теории матричного гомоморфизма).
Рассматриваемый как абстрактный оператор, К действует на иные переменные, чем оператор преобразования координат P{<t\t}- Поэтому абстрактные операторы К и P{<s\t] коммутируют:
Совокупность операторов, состоящая только из операторов преобразования координат, образует пространственную группу симметрии кристалла ®. По причинам, которые будут выяснены ниже, абстрактную группу S’, определенную как
мы будем называть пространственно-временной группой симметрии ’З.
Полное, зависящее от времени решение динамического уравнения (79.4) или (85.1) получится, если мы учтем полную временную зависимость смещений, устраненную в (72.2). Тогда оказывается, что зависящий от времени собственный вектор е, соответствующий волновому вектору k, равен
KP{‘t ] t) = P{<t | t)K-
(88.7)
G = © + K®,
(88.8)
e
exp — /со (k | jj t
(88.9)
и удовлетворяет уравнению
= 0. (88.10)
Применим теперь оператор К к уравнению (88.10):
/C[D(*)]/C_1-/Ce(|* |/) + /С-^/С"1-/Се(|*|/) = 0. (88.11)
236
Глава 9
Но оператор d2/dt2 веществен, так что
(88.12)
Взяв затем
К [D (Л)] K~l — [D (Л)]*,
(88.13)
мы получим, используя определение (78.5) и вещественность силовых постоянных [Ф],
Сравним (88.14) с условием эрмитовости (78.6) для [D(k)]. Из (78.6) вытекает, что динамическая матрица [D(k)] при фиксированном k является эрмитовой матрицей. Из (88.14) получается соотношение между динамической матрицей [от при двух различных значениях k. Тогда из (88.12), (88.14) и (88.11) имеем
Рассмотрим теперь полный набор зависящих от времени собственных векторов при заданном значении —k\
Сравнивая (88.15) и (88.17), видим, что вектор /Се свя-
ние, мы возвратимся к не зависящим от времени уравнениям движения. При заданном значении k эти уравнения имеют вид
а уравнения для волнового вектора —k записываются так:
[D (ft)]* = [/>(-ft)].
(88.14)
л(—*)•*«(!* |0=(1^)-10- (88л5)
М Ул. I J W !кУ Они удовлетворяют уравнению
[0(-б)]-е(| ,*ю=о- (88лу)
зан непосредственно с е
. Чтобы установить соотноше-
Симметрия и классическая динамика решетки
237
Применяя оператор К к обеим сторонам уравнения (88.18), имеем с учетом (88.14)
[Z>(-ft)]-ffe(| * ) = а»2(Л 1 у)/Се( | * ), ц=1........./;, (88.20)
Отсюда следует, что не зависящие от времени волновые векторы
411
значений, что и «(J j с Динамической матрицей [/>(-*)].
Далее, из (78.6) получается, что [/)(?)] и [D(k)]* = [D(—ft)] имеют одинаковый набор собственных значений. Действительно, ют и [/>(*)]* — эквивалентны и их можно взять вещественными. Это означает, что существует унитарное преобразование, с помощью которого можно преобразовать [D(k)\ в вещественную матрицу. Исследуем это утверждение подробнее. Из (79.16) имеем
Е (ftГ1 ¦ [D (ft)] • Е (ft) = A (ft). (88.21)
Трансформируя с помощью К преобразование подобия (88.21) или, что то же самое, взяв комплексно сопряженное выражение от (88.21), получаем
Е (ft)*-1 • [D (ft)]* • Е (ft)* = A* (ft) = A (ft), (88.22)
где последнее равенство следует из вещественности A (ft). Затем из (79.15), (88.13) и (88.14) имеем
E(k) • [D (- ft)] • E(k)-1 = A (ft). (88.23)
Приравнивая (88.21) и (88.23), получаем
Е (ft)-1 • [D (ft)] • Е (ft) = Elk) • D (- ft)] • Ejkr1. (88.24)
Тогда
(E (ft) • Щу1 ¦ [D (ft)] • (E (ft) • E (ft)) = [D (- ft)]. (88.25)
Отсюда видно, что симметричная матрица
S (ft) ss Е (ft) • E~(k) (88.26)
осуществляет преобразование подобия от [Z)(ft)] к [Z)(—ft)]:
S (ft)-1 • [D (ft)] • S (ft) = [D (- ft)]. (88.27)
Из (88.26) и (79.14) можно найти элементы S(k). Они равны
(S <*»*'. е«' = Z ( *' | ; ) Ч ( *' I * ) ¦• (88-28>
J удовлетворяют таким же уравнениям для собственных
238
Глава 9
Отметим различие между (88.28) и условиями ортогональности и нормировки (79.6) или (79.9), (79.11). Если отдельный собственный вектор веществен, то (88.28) тождественно (79.9) или
(79.11), так что
где П3г— (Зг) -мерная единичная матрица. Тогда ясно, что в случае вещественных векторов (88.27) и (88.14) показывают, что [/)(&)] вещественно и, таким образом, равно [/)(—ft)]. Но в общем случае это не так.
Используя (88.22) и (88.14), находим
Возьмем A(ft) в канонической форме (79.17) и получим (88.30) в компонентах
Для вычисления скалярного произведения воспользуемся еще выражением для собственных векторов матрицы D(—ft) и получим из (88.19) и (88.31)
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed