Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
И /0 ?><*> \
(ДЧ81 Rl}) — ?>(-*) о )¦ (96'27)
Если k эквивалентно —k, то (96.26) и (96.27) дают соответственно
D4o?)¦» 0<"(^)' (96'28)
Но (96.28) — вещественные симметричные матрицы. Их можно диагонализовать, производя преобразование подобия с помощью вещественной и ортогональной матрицы.
(96.29)
В приведенной форме копредставления для матриц, соответствующих унитарному элементу, равны
/?)<А> 0 \
DWRl}) = [ 0 D(k)j, (96.30)
268
Глава 9
а для матриц, соответствующих антиунитарному элементу,
/ D<*> 0 \
Ж* 0 _т)). (96.31)
Полное приведение (96.30) и (96.31) можно выполнить с помощью определения эквивалентного копредставления (95.27) и
(95.28). Тогда мы увидим, что (96.30) и (96.31) распадаются на прямую сумму двух эквивалентных' копредставлений.
Чтобы убедиться в этом, возьмем матрицу V из (95.27) и
(95.28) в виде
ч;?)-
Тогда
. / ?>(4) ({<4 ДЛ) о \
V-lD({e\RL})V = { \ (06-32>
и
, /DW(ff{e \хд о \
У-D (К {г I *,}) Г = ( J D(A) {е (96.33)
В этом случае неприводимые представления являются одномерными и выделяют представления D(A) группы ? дважды. Этот довольно тривиальный пример будет полезен нам ниже как иллюстрация к (98.52) и последующим формулам.
Мы можем продвинуться дальше, аналогично тому как мы делали для унитарной группы Предположим наличие некоторого неприводимого копредставления группы 3, которое в полностью приведенной форме содержится в Т. Вспомним рассмотрение в § 30—32, применимое здесь из-за того, что К коммутирует с пространственными унитарными операторами. Тогда можно сразу сказать, что любое неприводимое представление характеризуется набором волновых векторов. Однако в этом случае в наборе помимо каждого волнового вектора k будет содержаться и вектор —k. Получающуюся при этом совокупность значений k называют козвездой. Определим ее следующим образом:
со *k ш* {*,, ks}. (96.34)
Козвезда состоит из различных неэквивалентных волновых векторов.
Очевидно, имеется несколько классов волновых векторов,- для которых аналогично § 94 имеем
I k= — k + 2 пВн; *k = со *k. (96.35)
II k^ — k + 2 пВн; *k = co*k. (96.36)
III k=?-k + 2 nBH; *k=?co*k. (96.37)
i
Симметрия и классическая динамика решетки
269
В (96.35) векторы k и —k являются эквивалентными волновыми векторами; в (96.36)" k и —k не эквивалентны, но относятся к одной и той же звезде. Так как в этих случаях звезда уже содержит —k, то козвезда совпадает со звездой. В (96.37) ни один из этих случаев не реализуется и козвезда содержит удвоенное число волновых векторов по сравнению оо звездой за счет того, что отрицательные волновые векторы все тоже входят в звезду.
§ 97. Копредставления группы козвезда класса III
Для козвезды co*k класса III из (96.37) нет таких унитарных поворотов, которые переводили бы ka в —ka, где ka — произвольный вектор из *k. Обозначим рассматриваемое копредставление группы ^ через
?)(со **) (т) (971)
и предположим, что соответствующее подгруппе © ограниченное представление является диагональным. Тогда из рассмотрения § 96 следует
?)(со *ft) (m) | ?)(**) (m) 0 ?)(*-*) (m). (97.2)
Символ I использован здесь для обозначения ограничения с группы Ф на ее подгруппу ©: левая сторона соотношения
(97.2) относится к группе 3% а правая — к группе ©. Другими словами, можно сказать, что базисом для представления rft)(m) служит векторное пространство которое
составлено в виде прямой суммы
?(со **) (т) _ ?(**) (т) 0 (т) = ?(**) (т) 0 %(*-») (т), (97.3)
Для получения (97.3) мы воспользовались соотношением
(т) = ?(**) (т)* _ Ш. (97.4)
Очевидно, любой унитарный оператор {фЛтг} в ©(?) содержится также и в группе © (— k), так что обе группы тождественны и поэтому имеют одинаковые неприводимые представления. Возьмем
' ?)(**) <т)*ф ?)(*-*) <m)t (97.5)
где индекс th соответствует индексу —k. Так как является неприводимым представлением ©, то, следовательно, ?)(*) (т)* д0ЛЖН0 быть неприводимым представлением @(й) при заданном k. Однако преобразуется как т. е.
как неприводимое представление в точке — k. Отсюда сразу же следует неэквивалентность и D(k) (m). Здесь нет противо-
270
Глава 9
речия. Неприводимое представление группы ®(k), соответствующее базису , неэквивалентно представлению с базисом но оно эквивалентно D{~k){т), неприводимому
представлению группы © (— к). Читатель может убедиться в этом самостоятельно.
Мы построим копредставления группы исходя из представлений группы ©. Напомним, что
& = ® + №. (97.6)
Копредставление с базисом (97.3) для унитарных элементов группы 9 равно
Я(«о**Ы({«р|т}) = ( \ , • (97.7)
V 0 ?>( -*)(т) ({<р | т}).7
Для антиунитарных элементов оно имеет вид
О ?>(**) <т>({<р|т})'
(97.8)
, ( 0 ?)(**) (m) ({ф | TJ) \
Из неэквивалентности ?)(**)(">> и /)(**)(">>* = ?)(*-*) ("^ согласно лемме Шура, сразу видим, что (97.7) и (97.8) являются неприводимыми представлениями. Это доказательство не сложнее, чем в § 96.
Следовательно, для волновых векторов класса III операция обращения времени приводит к удвоению кратности существенного вырождения от значения (lm-s) до значения (2lm-s). Матрицы копредставлений (97.7) и (97.8) отражают полную пространственно-временную симметрию и их структура важна в последующем рассмотрении при получении правил отбора для многофононных процессов. Резюмируя, видим, что процедура получения индуцированных представлений из группы ®{k) не зависит от оператора обращения времени К. Группа ®(k)— это группа чисто унитарных операторов, и сначала мы переходим от представлений ?К*)(т) группы ®(k) к представлениям D( группы @ и только уже затем получаем представления
