Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ц(**)(".) = 0. (92.15)
Теперь рассмотрим случай (92.3) эквивалентных представлений. Если эквивалентно (т)*, то существует
248
Глава 9
унитарная матрица U, удовлетворяющая соотношению
?/-1Г)(**) <«)?/ = ?>(**) (т)^ (92.16)
ИЛИ
?)(**) (т)?/ == [/?)(**) (т)*, (92.17)
Возьмем выражение, комплексно сопряженное (92.17), и умножим на
UD(*k) (т)*ц* = jju*D(*k) (92.18а)
Используя (92.17), получим отсюда
?,(**) {т'щ,* = UU*D(**) <m). (92.186)
Следовательно, UU* коммутирует со всеми матрицами ?)(**)<"») неприводимого представления. Отсюда, согласно лемме Шура,
(92.19)
где у— константа, a ILS.; \ — единичная матрица с размерами
(s • 1т). Из (92.19) имеем
U = yU-'\ (92.20)
Так как матрица U унитарна, то
и~1 = и* = и+, (92.21)
или
и~'* = и. (92.22)
Наконец, из (92.20) имеем
U = yU. (92.23)
Беря выражение, траспонированное от (92.23), получим
и — yU- (92.24)
Подставляя (92.23) в (92.24), имеем
U = y2U. (92.25)
Следовательно,
У2= 1, (92.26)
у — ± 1. (92.27)
Тогда из (92.23) получим
и = и. (92.28)
Это условие симметричности матрицы U. Либо
?/=-(/. (92.29)
Симметрия и классическая динамика решетки
249
Это условие антисимметричности матрицы U. Два соотношения
(92.28) и (92.29) характеризуют два различных случая, причем оба соответствуют эквивалентности ?)(**) ("»> и Рас-
смотрим сначала случай (92.28).
Рассмотрим ситуацию, когда D( молено взять вещест-
венным. Это означает, что для заданной матрицы (т)‘ существует такая унитарная матрица 5, что
5-1?)(*А)(ш)15==Д(**)(т)) (92.30)
где ?)(**) вещественно:
д(**)(ш)*_ д(**)(ш). (92.31)
Беря выражение, комплексно сопряженное (92.30), получим
5-!•?)(**) (т)*5* = д(*й) <т)* ^ д(*а) (т) = («)?. (92.32)
Следовательно,
S'S'W**) <m>55*_1 = (m>\ (92.33)
Так как 5 унитарно, мы можем здесь тоже воспользоваться
(92.22):
(55)-1 /?<**) <«> (55) = <т>*. (92.34)
Матрица (55), очевидно, преобразует (т) в комплексно со-
пряженное выражение и, таким образом, должна быть отождествлена с U из (19.16). Следовательно,
(55) = 55 (92.35)
и аналогично (92.28) (55) является симметричной матрицей.
Ясно, что существование отличной от нуля унитарной матрицы 5, удовлетворяющей (92.30), соответствует (92.28). Таким образом, если ?)( эквивалентно ?)(**)("»)* и может быть взято вещественным, то тогда можно воспользоваться (92.28) и считать U симметричной матрицей. Наоборот, если существует симметричная матрица U, то ?)(**) </п> можно выбрать вещественным.
Возвратимся к выражению (92.17), которое мы преобразуем так, чтобы была видна связь с (92.14). Умножая (92.17) на
?)(**) <т)
и выписывая явно все аргументы (элементы пространственной группы), получим
?>(**) («) ({ф j f}) ?)(**) <m) ({ф !#})[/ =
= ?>(**) (m) ((ф | f}) UD(*b)im) ({ф | #jj.f (92.36)
250
Глава 9
Выполняя матричное умножение в левой стороне (92.36) и беря матричный элемент с индексами (а, (3) от результирующей матрицы, получим
2 D(*‘) <"> ({ф| *}2)aYt/Yfi = z D(*‘) (-) ({ф | t}U UbDW <«> ({ф |
v 68
(92.37)
Теперь просуммируем (92.37) по @. Тогда с помощью (92.10) левую часть (92.37) можно преобразовать к виду
Z I Я(*А) (т) ({ф I Фау ^YP = I (^(*А) (m))av ^v3 =
Y © Y
= z !*(**) (m)6aY6'Y3 = ц(*а) (92.38)
Y
Рассмотрим теперь просуммированную по ® правую часть ''92.37):
? t/fle J ^(**} (т> ({Ф I 0)ав °(*к) <т> 1 =
68 ®
= <92-39>
«е
Чтобы получить (92 39), мы воспользовались соотношением ортогональности для эквивалентных неприводимых представлений
?)(**) (т) и ?)(**)(т)*. Тогда из (92.38) и (92.39) имеем
Но отношение U$JUa$, согласно (92.28) и (92.29), может иметь только два значения ±1. Далее, в интресующем нас случае, когда и ?)(**)(т)* эквивалентны и могут быть взяты вещественными, (92.28) снова применимо и, следовательно,
й(*А)(т)==_ Jlp? (92.41)
s • ‘т
Для полноты изложения мы выпишем соотношение, соответствующее случаю (92.29):
(92.42)
s 1 ‘т
Теперь можно использовать результаты всех трех рассмотренных случаев, соответствующих (92.15), (92.41) и (92.42), и подставить эти соотношения в (92.11). Чтобы различить указанные три случая, воспользуемся принятой терминологией '). Если
М Определение использованной терминологии дано, например, в книге Вшиера [ 1 ], стр. 340. — Прим ред.
Симметрия и классическая динамика решетки
251
?)(**) (т) можно взять вещественным в смысле (92.30) и (92.31), то мы будем называть его потенциально вещественным. Тогда
Ех(**)<т)({ф1 t}2) = gpN ©
для потенциально вещественного (92.43)
Если комплексно, как в (92.14), то
? у(*ь) (ш) | — о для комплексного />’*)<«)_ (92.44)
®
Если ?)(**)(«) эквивалентно ?)(**)(«'* в смысле (92.17) и не может быть взято вещественным, то матрица U должна быть антисимметричной и применимо соотношение (92.42). Этот случай называется псевдовещественным. Тогда
? %(**)<т> ({<р| f}2) = — gpN для псевдовещественного
(92.45)
В динамике решетки возникают только случаи (92.43) и
(92.44). Критерии (92.43) — (92.45) являются общими, и, ис-
пользуя соотношение (49.3), мы можем установить, к какому случаю относится любое представление. В нашем распоряжении имеется вся необходимая информация, и остается только выполнить суммирование по полной группе в (92.43) — (92.45). Ясно, что такая процедура не слишком удобна. Поэтому в следующем параграфе мы получим упрощенный критерий, предложенный Херрингом [69]. Этот критерий позволяет при исследовании свойств работать только с группой ®(&). Следует отме-
