Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
274
Глава 9
Это выражение можно переписать с учётом равенства
?>(»', (т) = ?<*> (т) (а2)-' (98.28)
в виде . /
DW (») (Ц]) pp*D(*> <т> (а*)-1 = pp*D<*> <т> (*) («,). (98.29)
Но неприводимо, и, согласно лемме Шура,
pp*D<*> (т) (а2)-* = сП> (98.30)
где П — единичная матрица, а с — число. Положим и
подставим в (98.26); тогда получим
г l4D(ft) (m) UY р* = Dw (т) (flg). (98.31)
Если (98.30) подставить в (98.31), то получим
Г* №)?-%-¦
Следовательно,
с = с*. (98.32)
Так как все матрицы унитарны, из (98.30) имеем
|с]= 1. (98.33)
Тогда из (98.32) и (98.33) получим
с = ± 1;
и для случая А' имеются две возможности:
Случай A = (98.34)
и
Случай С (а?) = - ДО*. (98.35)
Эти два случая позволяют различить два разных типа неприводимых представлений. Чтобы убедиться в этом, преобразуем
(98.14) и (98.18). Определим матрицу V с размерами (2/т)Х
Х(21т), являющуюся прямой суммой вида
у-(' “-,), (98.38)
и выполним преобразования
D(u) = V~lD(u)V, (98.37)
P(a) = V~'P(a)V\ (98.38)
Симметрия и классическая динамика решетки
2?5
I ¦ •
Напомним, что р —унитарно, и затем, используя (98.15) и
(98.24), получим
_ /10\ / Z)<*> <т) („) о V14) ^
?>(«) = ^0 рJV 0 ?><*><»>(и“*)*Д0 =
/ ?)<*> <т> (и) 0 \
“Л 6 0<*><я>(и) J (98-39)
и
_ /1 0\/ 0 0 \
в(а)в1о р Дд(*)(т)(«а°Г о До p-'V”
/ О DW(m)(u)D(‘)<m)(a§)p“b>i
' = U->(„)p о )• <9М0)
Подставляя (98.34) и (98.35) в (98.40), получаем / 0 ±?><*><т)(м)р\
^в(д(*)<|«|(и)(1 о J’ (98-41)
Z)
где, как и раньше, a = иа0. Таким образом, (98.39) и (98.41) определяют копредставления для двух возможных случаев.
Чтобы установить неприводимость, применим лемму Шура и воспользуемся эрмитовой матрицей М из (98.21) и соотношениями (98.23), (98.24) для D. Нас интересует только случай
MD(a) = D(a)AT, , (98.42)
который дает
mI20(ft) (m) (и) р = ± m,2D<ft> <»> (и) р (98.43)
и
mzzDW(m) (и) р = mnDW <m> (и) р. (98.44)
Из (98.44) следует, что в любом из случаев
т\ 1 = т2 2 = trii • (98 -45)
Но из (98.43) следуют две возможности. Если взять отрицательный знак, то, так как и Р отличны от нуля, получим
Случай С mi2 = m2i —0. - (98.46)
Если в (98.43) взять положительный знак, то получим
Случай A mi2 = m2i = щ ф 0, (98.47)
т. е. в этом случае имеем окончательно
(т,\ П
276
Глава 9
и, следовательно
'О 1
D(а) = ?)<«<»»>(и)P®(j J)- (98.49)
/П ° \
Случай С Л4 = т1ф д I (98.50)
и, следовательно,
( 0 1\
D(fl) = D(‘>W(a)P® _! QJ. (98.51)
Ясно, что в случае С копредставление D является неприводимым, так как единственная матрица, которая «коммутирует» с D [в обобщенном смысле (98.23), (98.24)], — это константа.
В случае А копредставление D приводимо. Обобщая вывод
(96.28) — (96.31), можно выполнить приведение с помощью вещественной ортогональной матрицы соответствующей размерности
1 / П П \
^=VTV-nnj’ (98-52)
где П — единичная матрица нужной размерности. В результате приведения получим
/ ?)(*) (т) (w) а о ' ч
D(a) = ?r,D(a)?? = ( 0 _яю™(ц)|1| (98-53)
При выполнении процедуры приведения от (96.30), (96.31) к
(96.32), (96.33) последний шаг от (98.39) к (98.53) можно выполнить преобразованием к эквивалентному представлению. Воспользуемся снова матрицей
- 0 ^
v”{o mj (98-54>
и найдем _ _
V~lD(u)V, (98.55)
V~lD (а) V* (98.56)
аналогично (96.32) и (96.33). В этом случае приведение дает неприводимые (допустимые) копредставления группы 3 (k):
Я<со «<*)(„) = ?<*)<»»>(„), (98.57)
D^^M(a) = DW^(aa^lfS). (98.58)
Предположим теперь, что имеется допустимое копредставление D группы 'S (k). Это копредставление, согласно только что
Симметрия и классическая динамика решетки
277
выполненному исследованию, относится к одному из трех случаев:
Случай A (и)ф/)(*)("!) ^а-1Цйго^*
и
?»(*> (ш) (ag) == рр*.
где (98.59)
p-lDW («> (ц) р = DW (m) (а-1ца).
Здесь D(u) определены в (98.57), a D(a)—в (98.58).
Случай В (иD(*> (m) (а^'иа^*. (98.60)
Здесь D(«) определены в (98.14),'a D(a)~ в (98.18).
Случай С D('k)(m){u)
и
?)(*)(«) (a 2) = _рр*, (98>61)
где
p-1/)<*)(m)(«)P = Z)w<m)(ao"W.
Здесь Z?(«) определены в (98.39), а D(a) — в (98.51).
Аналогично тому как мы рассматривали обычные представления группы ®, полученные из представлений группы ®(k), найдем копредставления группы 3 из копредставлений группы 3(k). Разложение 3 по 3 (k) дано в (98.6). Заметим снова, что все элементы смежных классов в (98.6) унитарны. Действительно, они были выбраны в соответствии с элементами смежных классов, которые возникли бы для того же значения k в разложении @ по ®(k).
Поэтому мы можем воспользоваться всей аргументацией, приведшей к (36.7) и (36.8). Основную роль в приведении играло определение (36.6):
PW,/>(m)=€l)<m)' (98.62)
При наличии антиунитарного оператора также нужно выбрать некоторый базис. Рассмотрим соотношение
(98-63)
где
(98.64)
и определено в (98.62). Если мы возьмем в качестве
базиса для заданного ka :
?(™ *а)<ш> *= 2(*<т) <т> ф a^S) <m\ (98.65)
2П
Глава 5
где
2(*а) <т> = <т), . . ., Ц*а) (m)J, (98.66)
то мы можем легко продвинуться дальше. Мы представим полную матрицу копредставления D^co **)(m) в блочном виде, соответствующем разложению по смежным классам (98.6), обозначив эти блоки
