Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 90

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 127 >> Следующая

D^0 **)<"», (98.67)
где , как обычно, индексы ах берутся в соответствии с индексами элементов смежных классов в (98.6). Как всегда, блочная матрица показывает, как пространство 2(со*т)(т) переводится в 2(со*аИт) . некоторым оператором, являющимся аргументом
матрицы. Теперь будем следовать аргументации, использован-
ной при выводе (36.7), (36.8). Отличные от нуля блочные матрицы в первой строке или в первом столбце тогда сразу записываются в виде
?>(“**> (тЧ{фаК})а>=?, (98-68)
?)(со *k) (m) ({ф0 | та}—*)1(J = Е, (98.69)
где Е — единичная матрица с размерами либо 1т, либо 21т- Заметим, что выражение, комплексно сопряженное (98.68) и
(98.69), тоже является единичной матрицей.
Возьмем теперь элемент (1,1) блочной матрицы в ?)(«>**)(«) в виде
?(ео **) (т) д(со **) (т)_ , (98.70)
Далее определим матрицу с точкой
/усоА) °. если х не принадлежит 9{к),
1 D(co k) (т), если X содержится в ^ (ft).
Пусть {фр|тр}—произвольный унитарный элемент группы^. Рассмотрим блочную матрицу копредставления с индексами (а, х)
?)(со *k) (т) ({фа | Та} • {фр|Тр} • {ф,|Т,}-1)„»С(С°*)(т>({фр|Тр}).
(98.72)
Возьмем теперь произвольный антиунитарный элемент К {фР|тр}, Тогда блочная матрица с индексами (о, т) полного копредставления имеет вид
D(C° **1 (rn) ({фа | Ха} . К {фр | tp} . {фт | tt}-l)OT в
= 0(со‘)(т)(^{фр|Тр}). (98.73)
Симметрия и классическая динамика решетки
279
Оба соотношения (98.70) и (98.71) получаются при рассмотрении соответствующих элементов матриц с помощью (98.68) и
(98.69).
Повторяя это же рассуждение в обратном порядке, получим, как и при выводе (36.10), для произвольного унитарного элемента {фр|тр} и произвольного антиунитарного элемента К {фр|тр}
Тр})эт==
= Ь(с0 *> (т) ({Фа | та}-‘ • {фр | тр} {Фг | тг}) (98.74)
и
D(co**) о») (^{фр|
= я(с° *> W ({фо |та}-1 • к {фр I тр} • {фч I тг}). (98.75)
Выражения (98.74) и (98.75) дают решение поставленной задачи. Их простой вид является прямым следствием разложения, по смежным классам (98.6). Если бы использовалось другое разложение, то мы получили бы эквивалентное индуцированное представление. В частности, вместо s смежных классов в
(98.6) разложение по смежным классам ®(k) содержало бы 2s смежных классов, содержащих антиунитарные элементы смежных классов. Тогда было бы возможно прямое определение индуцированных представлений группы 3 по представлениям ®{k) вместо использованной нами двухступенчатой процедуры, ведущей от ®{k) к $(k) и затем уже к 'S. Ясно, что все способы рассмотрения дают один и тот же результат.
§ 99. Копредставления группы козвезда класса I
Волновыми векторами класса I, согласно (96.35), являются векторы
k = nBfl. (99.1)
Для таких волновых векторов все пространственные операторы, например {ф;|т(} и {фа|та}, содержатся в группе ®{k). В этом случае пространственно-временная группа волнового вектора имеет вид
$(k) = ® (k) + К® (k). (99.2)
Следовательно, в этом^случае антиунитарный элемент смежного класса й0 является операцией чистого обращения времени К. Следствие обращения времени для этого случая легко получи^гь по аналогии с (94.11) и (94.12),
Возвратимся к случаю А. Если
I
Q(k) (m) ^ ?)(*) (т)
280
Глава 9
то, очевидно, является вещественным представлением.
Тогда из (98.34) и равенства а0 = К имеем
рр* = ?)<*) (т) (Е), (99.4)
и неприводимое представление в этом случае является совокупностью матриц
D(k) (ш) (и), DM (т) (и) р — /)<*> (») (а). (99.5)
Из (99.4) и из того, что р унитарно, имеем
¦ Р = Р. (99.6)
Таким образом, в этом случае р является симметричной унитарной матрицей.
В случае В мы воспользуемся обсуждением § 98, так что матрицами копредставлений будут (98.14) и (98.18).
В случае С эквивалентность представлений
D<*>{т) (и) ф ?><*>(m) (и)* (99.7)
не означает, что (m) вещественно, а означает лишь, что оно имеет вещественный характер (след). Тогда матрицы неприводимого представления аналогичны (98.39) и (98.51). В этом случае
рр* = _ ?>(*> (я.) (Е) (99.8)
и
р = -р, (99.9)
так что матрица р антисимметрична. Так как р также унитарна (т. е. имеет определитель, равный единице), результат (99.2) показывает, что р должна быть матрицей с четной размерностью. Это очень важный случай, так как звезда класса I соответствует границам зоны Бриллюэна и поэтому часто рассматривается в конкретных задачах.
Получение индуцированных копредставлений D^° к)(т) по допустимым неприводимым копредставлениям Z)(c0*)<m> группы $ (k) выполняется аналогично (98.74) и (98.75).
§ 100. Допустимые неприводимые представления группы 3(k) как проективные представления
Еще один аспект неприводимых представлений группы 3 (k) можно увидеть, если рассмотреть их как проективные представления некоторой точечной группы, содержащей антиунитарный оператор [74]. Напомним, что в (41.11) мы определили кристаллическую точечную группу в точке k как факторгруппу
@ (*)/?=$(*), (100.})
Симметрия и классическая динамика решетки '
281
которая изоморфна некоторой кристаллической точечной группе
В случае волновых векторов, относящихся к классам I и II, для которых ft и —ft либо эквивалентны, либо относятся к одной И той же звезде, представляется естественным расширить ф(й) за счет добавления некоторых антиунитарных элементов. Рассмотрим теперь расширенную группу
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed